Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS10/11) - Versionsgeschichte

Halikarnaz: /* Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) */

2011-01-25T10:31:30Z

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2011, 10:31 Uhr
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	Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)		Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

	===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel~~) =====~~		===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

	~~Übungsaufgabe~~

	Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

	== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==		== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==

Halikarnaz: /* Definition X.1: (Stufenwinkel) */

2011-01-23T13:25:16Z

Definition X.1: (Stufenwinkel)

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2011, 13:25 Uhr
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	===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====		===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

			Die Winkel <pq und <rs heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge des Schenkels p des anderen Winkels ist. Die anderen beiden Schenkel q und s mögen in einer Halbebene bezüglich der Geraden g liegen, die durch die Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 13:25, 23. Jan. 2011 (UTC)

	===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====		===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

Halikarnaz: /* Definition X.2: (Wechselwinkel) */

2011-01-23T13:23:58Z

Definition X.2: (Wechselwinkel)

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2011, 13:23 Uhr
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	===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====		===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

			Zwei Winkel <pq und <rs heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <pq und der Winkel <rs Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 13:23, 23. Jan. 2011 (UTC)

	===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====		===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

Halikarnaz: /* Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) */

2011-01-23T13:22:01Z

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

← Nächstältere Version		Version vom 23. Januar 2011, 13:22 Uhr
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	Übungsaufgabe		Übungsaufgabe

			Wenn zwei zueinander parallele Geraden p und p* von einer Geraden g geschnitten werden, so bezeichnet man die beiden Winkel <gp und <gp, die bezüglich der Geraden g in derselben Halbebene, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von p und p liegen, als entgegengesetzt liegende Winkel. Entgegengesetzt liegende Winkel ergänzen sich zu 180°(diese Eigenschaft folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie).(Umgekehrt kann auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden)--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 13:22, 23. Jan. 2011 (UTC)

	== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==		== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==

Jbo-sax: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

2011-01-20T18:39:01Z

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

← Nächstältere Version		Version vom 20. Januar 2011, 18:39 Uhr
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	Den Rest können Sie selbst!		Den Rest können Sie selbst!

			----
			<br />
			<u>Voraussetzung:</u><br />
			# <math>\ a \not\equiv b \not\equiv c</math>
			# <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> sind Stufenwinkel
			# <math>\alpha \cong \beta</math>
			# <math>\ b \cap c</math> = {<math>\ B</math>}
			# <math>\ a \cap c</math> = {<math>\ A</math>}<br />

			<u>Behauptung:</u><br />
			: <math>\ a \\| b</math><br />

			<u>Annahme:</u><br />
			: <math>a\not\\| b</math><br />

			{\| class="wikitable"
			\|1) <math>a\not\\| b</math>
			\|Annahme
			\|-
			\|2) <math>\ a \equiv b</math> oder <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>}
			\|1), Schnittpunkt von Geraden
			\|-
			\|3) <math>\ a \equiv b</math>
			\|Widerspruch zur 1. Voraussetzung
			\|-
			\|4) <math>\ a \cap b</math> = {<math>\ S</math>} <math>\Rightarrow</math> <math>\ a \\| c</math> oder <math>\ a \equiv c</math>
			\|2), Definition Schnittpunkt von Geraden, 2. und 3. Voraussetzung
			\|-
			\|5) <math>\ a \equiv c</math>
			\|Widerspruch zur 1. und 5. Voraussetzung
			\|-
			\|6) <math>\ a \\| c</math>
			\|Widerspruch zur 5. Voraussetzung
			\|}
			<math>\Rightarrow</math> Annahme verwerfen <math>\Rightarrow</math> Behauptung stimmt.<br />
			q.e.d.--[[Benutzer:Jbo-sax\|Jbo-sax]] 18:39, 20. Jan. 2011 (UTC)<br />

	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: == Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel == In welchen Fällen handelt es sich um.... ::Stufenwinkel ::Wechselwinkel ::entgegengesetzt liegende ...

2011-01-18T13:56:58Z

Die Seite wurde neu angelegt: == Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel == In welchen Fällen handelt es sich um.... ::Stufenwinkel ::Wechselwinkel ::entgegengesetzt liegende ...

Neue Seite

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKyt7DwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VrdUts4FL7efQpPrnYvMPqXPAPttNACpbvd2e72Ym86TiwSbx07azv8vVVbnqPPtEeSE+LEBAwBAhlmTKRjWfq+cz7pnHjr5ekw8Y51XsRZut3BPup4Ou1lUZz2tzvj8mhDdV6++Hmrr7O+7uahd5Tlw7Dc7lCfdEz7OH7x809bxSA78cLEmnyK9cl25yhMCt3xilGuw6gYaF3W2sPxaZzEYX72ofuv7pXFZYcb5CAdjeEpZT6Gtt4weh8Xk6+b9oGjJC534+M40rmXZL3tjuAwdfjvk87LuBcm2x2GXAuBdUla64QmanoHWR6fZ2lpzC8HP4IWzyvicw13CtO2tWkXuqXHvSSO4jA1i7HzACPPO4mjcgC2VAgYU8f9AUxWIOmG62VZHn08K0o99E7/0Xm23SEE+wFHgUCcM86lkh3vzHVRFPgUE8URdFCBFYAIM4apMOEjjngAf7A0TDCDm67us8/Wxx91WQKZhRee6kuY+3kcTeA1/x8Ur7MkmnaPsjgtd8JROc6tI9Cq6WN5Zp4GyOVmka/SfqKrNgI8DXTvSzc7/eiQo27ov85G9hY7n25/J0uy3MvhBs7BoLp23dXamIlOrZC1QdaiGsMMOu3HAbEW9tp1V2uVxKmbWrVwPFk0RpPHxIVnGmBw47/TxSdhV4M/dLxxGpfvJ1/Ab75US8Xuht/Hwy4EzqznTMfEqxpza3PO57a+6DzViXOsFKgdZ+PCOzYe7J5lJxLpXjyEr66jgiQ0dP0NE3Ctke7nejJxF3YOMNuLZp13rnlrczIJM4cC5torQT9gPaVZiwnvEkJru7Ov4/T8OEz1uK/TjheFpek2gZTooYYoK61zWN+agvSqM5WUzKrDPIqXeEN/o6dYnwqT0SCEFr9aShKegVjMLs6O91sW1ZccpgCdXQ+E7MgMYMgZaR1VAllWHu2NYEgbHzPIW8AK79Q92DuD2DTXc3evNXGhZJTDPpZWPDtIrgHn9TMBR/nKggM6KNqh08uGwzCNvDQcwoPeQ5hbSGKzY3ghMv7jhdgg5VAYl5OO/mfsBquGWIDaaMYUSGNdF5JyAPGa6qKwalfO6lqNECerN+YD3ZiND0dHhS4NfFRa9DYwX0bWJdzER8zeYXEHuDco9xeUcskC9X+psymcXsVD2IF7cdnGd3eeie9uIF9RwQXs4FQGXAhFHRvUxwGihGNJsFIyCFYX97vPBDvlA2iMIhYIghitgCM+l7PAmfPQSjVhx2nCboMmkFaaQFarCbB9RrGDFaw/VMbh6gWDVUhjfDPBAB8HgmY/2A4Ah1NmuSGBT6QKBEOYqwAhwR9YTd48k4jgvqMG9FitTi/ePhN0qM+E81w4RrXE51pVeONU4e2CKgxaaMJg3U4JS6IaordCE8MWFtQ+1bEg8FUAjrj6WK6zcZCWkOcAEHOUmFOXJWWwQMreclLq/r93nf/PeNss5IJZzM2l6y53R51h7ivCQCqrjzuKEaZ8FCBhDgr24zY9JXzI38VtXPxqUMlVoO63AXV/jUClWPmScMYVwUgKQqoTMWGmfiK5kOYkQVHAJ6gSdTtUbZVjDtHXDs89uBCjI/Ow/vi6HFebik9hA2tzP0xmXE0J+wIxppgUWHGiGLuLgGC0KCF4Ke6X5wbifHVDNrKCW+hEmPdmIJ80Jkl28qc+SvSphdn1zhQ/WnDypsbJq0VOvrXi5NsiJ5xK8DUVYElFwCaVpocnZUPiKuF4ArS8qtGyv0jL91a0fF/bUNmQgStpsPUnZb9GymKp5MdFK1Iuro0V9VisYFFttutPyp4jZd+RstMgYNclq/MSVqWrNWIUxVgJSgUOiPnp4d6S1bvF0mQ7b85X14q3nRpvi9nEj+8tefvexBvFiCEBRxsaSEI5XVPeqnBrrkuuFW1va7QtloZ+XLSk7eLJhhshljX6BFjbrbG213Dybsna1xsEm1hL1nBQ5fLBY9O2LGk8uGXSuHalKOJLhQQWQiCFsAwgWgz8yBeYKYK4JBhLEbSt+l9bpTpwHl/9ejVXvaYtKlXGeqW1qmZf766qkDXzc1dVtSLN+c4Nfu7CwIciSgaIECExm8bMw5e4BhM+6QKf79pUY97drsR7L8UYiX3GAkwlg8jAvCpwEZ9yxkA+OSGQo3F11wJX04ZQhce7q/PL64Jk4fRFV5hjtoyRlSSgzaw92jb+h3XbOmtN3n/YxvsPb+f9mLi3juz1XneWG+8r0scKvCqQlCiOySTzQT5DEmGqCPgcxJUU7C4by5IqQBU6h00n4Hahc9EUOnOVgDufpe4lduSTSVsOa6Q1HoDbkfb1er2bJAZrRhqhT6Y4vVdj7aCpttOOtW9PNtQ2xPKXlx4tb+lmWaLDdIpOOA/wjHw/9AtfXLlsQzbXMScnsnBkObRtbwBA7/xEx6X29nQegu0v/c/kV6/oDVIdRzDwoB0g3TUEBF9RIbwakbEHqZQ3CnPwE1jvDDZ0KTabs++62nfCq5fiX/wPUEsHCK9Ctb5NBwAARi8AAFBLAQIUABQACAAIAKyt7DyvQrW+TQcAAEYvAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAhwcAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) =====

Übungsaufgabe

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

[[Category:Einführung_Geometrie]]