Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12) - Versionsgeschichte

HecklF: /* Beweisteil II: a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b) */

2011-12-04T22:27:54Z

Beweisteil II: a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 22:27 Uhr
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	<br /><br />		<br /><br />

	=Beweisteil II: <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>=		===Beweisteil II: <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>===

HecklF: /* Satz */

2011-12-04T22:27:35Z

Satz

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Zeile 4:		Zeile 4:
	:: Es gilt die folgende Äquivalenz:		:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
	::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)		::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)
	~~<br />~~
	~~<br />~~

	===Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />===		===Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />===

HecklF: /* Beweisteil I: a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b) */

2011-12-04T22:27:13Z

Beweisteil I: a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 22:27 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	<br />		<br />

	=Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />=		===Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />===
	Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.		Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.
	<br /><br />		<br /><br />
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	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)
	<br /><br />		<br /><br />

	=Beweisteil II: <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>=		=Beweisteil II: <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>=

HecklF: /* Beweisteil I: a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b) */

2011-12-04T22:26:18Z

Beweisteil I: a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)

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	=Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />=		=Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />=
	~~<br /><br />~~
	Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.		Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.
	<br /><br />		<br /><br />
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	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)
	<br /><br />		<br /><br />
	~~'''~~Beweisteil II:~~'''~~ <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>~~<br />~~		=Beweisteil II: <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>=

HecklF: /* Satz */

2011-12-04T22:25:45Z

Satz

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	<br />		<br />

	~~'''~~Beweisteil I:~~'''~~ <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />		=Beweisteil I: <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />=
	<br /><br />		<br /><br />
	Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.		Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.
	<br /><br />		<br /><br />
	Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und <math>S_b(S_a(A)) = A', \ S_b(S_a(B)) = B' \ und \ S_b(S_a(C)) = C'</math>		Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und <math>S_b(S_a(A)) = A', \ S_b(S_a(B)) = B' \ und \ S_b(S_a(C)) = C'</math>
	<br />		<br /><br />
	Bleibt zu zeigen, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.		Bleibt zu zeigen, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.
	<br /><br />		<br /><br />

HecklF: /* Satz */

2011-12-04T22:24:52Z

Satz

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 22:24 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	:: Es gilt die folgende Äquivalenz:		:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
	::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)		::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)
			<br />
			<br />

	'''Beweisteil I:''' <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />		'''Beweisteil I:''' <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />
			<br /><br />
	Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.		Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.
			<br /><br />
	Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und <math>S_b(S_a(A)) = A', \ S_b(S_a(B)) = B' \ und \ S_b(S_a(C)) = C'</math>		Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und <math>S_b(S_a(A)) = A', \ S_b(S_a(B)) = B' \ und \ S_b(S_a(C)) = C'</math>
			<br />
	Bleibt zu zeigen, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.		Bleibt zu zeigen, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.
			<br /><br />
	Weil ich unendlich viele Geradenpaare habe, für die gilt, dass <math>A \rightarrow A' \ und \ B \rightarrow B' \ und \ C \rightarrow C'</math> kann ich mit ein weiteres Paar aussuchen. Ein weiterer Aspekt muss jedoch berücksichtigt werden: Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss immer identisch sein. Wenn nun a' so gelegt wird, dass a' = b ist und b' so gelegt wird, dass b' = a ist, dann sind wir fertig, da nun gilt, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.		Weil ich unendlich viele Geradenpaare habe, für die gilt, dass <math>A \rightarrow A' \ und \ B \rightarrow B' \ und \ C \rightarrow C'</math> kann ich mit ein weiteres Paar aussuchen. Ein weiterer Aspekt muss jedoch berücksichtigt werden: Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss immer identisch sein. Wenn nun a' so gelegt wird, dass a' = b ist und b' so gelegt wird, dass b' = a ist, dann sind wir fertig, da nun gilt, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.
	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)
			<br /><br />
	'''Beweisteil II:''' <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />		'''Beweisteil II:''' <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />

HecklF: /* Satz */

2011-12-04T22:23:53Z

Satz

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 22:23 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	:: Es gilt die folgende Äquivalenz:		:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
	::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)		::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)

			'''Beweisteil I:''' <math>a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />

			Um diesen Beweis führen zu können, müssen wir uns auf den Reduktionssatz rückbesinnen. Dieser zeigte uns an, dass jede Drehung die NAF zweier Geradenspiegelungen ist. Ferner konnten wir zeigen, dass es unendlich viele Geradenpaare gibt, die die Bewegung ausführen.

			Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte und <math>S_b(S_a(A)) = A', \ S_b(S_a(B)) = B' \ und \ S_b(S_a(C)) = C'</math>

			Bleibt zu zeigen, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.

			Weil ich unendlich viele Geradenpaare habe, für die gilt, dass <math>A \rightarrow A' \ und \ B \rightarrow B' \ und \ C \rightarrow C'</math> kann ich mit ein weiteres Paar aussuchen. Ein weiterer Aspekt muss jedoch berücksichtigt werden: Der Schnittwinkel der beiden Geraden muss immer identisch sein. Wenn nun a' so gelegt wird, dass a' = b ist und b' so gelegt wird, dass b' = a ist, dann sind wir fertig, da nun gilt, dass <math>S_a(S_b(A)) = A', \ S_a(S_b(B)) = B' \ und \ S_a(S_b(C)) = C'</math>.
			--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 23:23, 4. Dez. 2011 (CET)

			'''Beweisteil II:''' <math>a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math><br />

Sternchen: /* Satz */

2011-12-01T10:29:08Z

Satz

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2011, 10:29 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.		::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.
	:: Es gilt die folgende Äquivalenz:		:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
	::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a ~~\Leftrightarrow~~ S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)		::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)

Sternchen: /* Satz */

2011-12-01T10:27:22Z

Satz

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2011, 10:27 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.		::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.
	:: Es gilt die folgende Äquivalenz:		:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
			::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a \Leftrightarrow S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)

m.g.: /* Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität */

2011-12-01T10:21:47Z

Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2011, 10:21 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	=Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität=		=Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität=
			==Satz==
			::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.
			:: Es gilt die folgende Äquivalenz:

Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12) - Versionsgeschichte

HecklF: /* Beweisteil II: a \perp b \leftarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b) */

HecklF: /* Satz */

HecklF: /* Beweisteil I: a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b) */

HecklF: /* Beweisteil I: a \perp b \rightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b) */

HecklF: /* Satz */

HecklF: /* Satz */

HecklF: /* Satz */

Sternchen: /* Satz */

Sternchen: /* Satz */

*m.g.*: /* Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität */

m.g.: /* Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität */