Existenz von Parallelen (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Nummero6: /* Beweis der Existenz von Parallelen */

2012-07-10T14:59:15Z

Beweis der Existenz von Parallelen

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2012, 14:59 Uhr
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	Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />		Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:<br />[[Datei:Parallel S1.png]]<br />[[Datei:Parallel S2.png]]<br />
	~~Skizze folgt~~..<br />
	(1) Nach der Ex. & Eind. des Lots gibt es eine Gerade durch P, welche senkrecht zu g ist.<br />		(1) Nach der Ex. & Eind. des Lots gibt es eine Gerade durch P, welche senkrecht zu g ist.<br />
	(2) <math>\left\| l \right\| = \left\| \overline{SP} \right\|</math> // Vor., (1), Abstandsaxiom<br />		(2) <math>\left\| l \right\| = \left\| \overline{SP} \right\|</math> // Vor., (1), Abstandsaxiom<br />
	(3) Es gibt einen weiteren Punkt <math>G' \in g</math>mit<math>G' \neq S</math> // Vor., Axiom I.2<br />		(3) Es gibt einen weiteren Punkt <math>G' \in g</math>mit<math>G' \neq S</math> // Vor., Axiom I.2<br />
	(4) Es gibt genau einen Strahl <math>G'Q+</math> in der HE G'S,P+ mit <math>\left\| \angle SG'Q \right\| = 90</math> // Winkelkonstruktionsaxiom<br />		(4) Es gibt genau einen Strahl <math>\ G'Q^{+}</math> in der HE <math>\ G'S,P^{+}</math> mit <math>\left\| \angle SG'Q \right\| = 90</math> // Vor., (3), Winkelkonstruktionsaxiom<br />
	(5) es gibt genau einen Punkt P_2 auf <math>G'Q+</math> mit <math>\left\| SP \right\| = \left\| G'_2P_2 \right\|</math> // Axiom v. Lineal, (4),(2)<br />		(5) Es gibt genau einen Punkt <math>P_2</math> auf <math>\ G'Q^{+}</math> mit <math>\left\| SP \right\| = \left\| G'_2P_2 \right\|</math> // Axiom v. Lineal, (4),(2)<br />
	(6) <math>\exists h: P, P_2 \in h</math> // Vor., (5), Axiom I.1<br />		(6) <math>\exists h: P, P_2 \in h</math> // Vor., (5), Axiom I.1<br />
	(7) qed?!? (oder muss noch bewiesen werden, dass alle Punkte der Geraden h denselben Abstand zur Geraden g haben?!? eigentlich trivial, oder? :-) )<br />--[[Benutzer:Nummero6\|Tchu Tcha Tcha]] 15:20, 10. Jul. 2012 (CEST)		(7) qed?!? (oder muss noch bewiesen werden, dass alle Punkte der Geraden h denselben Abstand zur Geraden g haben?!? eigentlich trivial, oder? :-) )<br />--[[Benutzer:Nummero6\|Tchu Tcha Tcha]] 15:20, 10. Jul. 2012 (CEST)

Nummero6: /* Beweis der Existenz von Parallelen */

2012-07-10T13:20:46Z

Beweis der Existenz von Parallelen

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 Übungsaufgabe
 <br /><br />
 Die Eindeutigkeit ("Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es ''höchstens'' eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.") kann in der absoluten Geometrie nicht bewiesen werden. Wir müssen die Eindeutigkeit der Parallelen axiomatisch fordern. Das entsprechende Axiom heißt Euklidisches Parallelenaxiom (EP). Sobald das EP gilt, befinden wir uns nichtmehr in der absoluten Geometrie, sondern in der euklidischen.

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===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====

Übungsaufgabe
<br /><br />

Die Eindeutigkeit ("Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es ''höchstens'' eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.") kann in der absoluten Geometrie nicht bewiesen werden. Wir müssen die Eindeutigkeit der Parallelen axiomatisch fordern. Das entsprechende Axiom heißt Euklidisches Parallelenaxiom (EP). Sobald das EP gilt, befinden wir uns nichtmehr in der absoluten Geometrie, sondern in der euklidischen.


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[[Kategorie:Einführung_S]]

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