GeometrieUndUnterrichtSS2019 12 - Versionsgeschichte

Yulian: /* Beweisfindung und Argumentation */

2019-07-12T06:24:50Z

Beweisfindung und Argumentation

← Nächstältere Version		Version vom 12. Juli 2019, 06:24 Uhr
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	== Beweisfindung und Argumentation ==		== Beweisfindung und Argumentation ==

			Die Idee ist es, dass SuS mit unterschiedlichen Leistungsniveaus alle einen vollständigen Beweis aufschreiben können. Dafür haben wir uns überlegt, den Beweis in seine logischen Abschnitte zu unterteilen:
			# Finden der gleichschenkenkligen Dreiecke
			# Dies in Beziehung mit den Winkeln setzen
			# Anwenden des Satzes über die Winkelsumme
			# Algebraisches Umformen

			Wir haben uns dafür entschieden die Fragestellungen recht allgemein zu halten, damit auch (sehr) gute SuS die Möglichkeit haben selbstständig den Beweis ohne zu viele Hilfen zu führen. Stattdessen besteht für schwächere SuS die Möglichkeit sich Hilfskarten zu den einzelnen Schritten anzuschauen. Hier war es unser Ziel möglichst ohne schriftliche Erklärungen zu arbeiten, sondern nur die bekannte Skizze der Situation zu verändern, bzw. bestimmte Teile hervorzuheben. Sollte dies immer noch nicht reichen, können sich SuS dann noch an die Lehrkraft wenden.

	[[Datei:Arbeitsergebnis Beweisfindung.pdf\|thumb\|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Beweisfindung und Argumentieren zum Satz des Thales“]]		[[Datei:Arbeitsergebnis Beweisfindung.pdf\|thumb\|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Beweisfindung und Argumentieren zum Satz des Thales“]]

Ilona Rein: /* Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales */

2019-07-07T16:24:52Z

Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 16:24 Uhr
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	== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==		== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==
	Die Klasse wird in drei Gruppen geteilt. Gruppe 2 beschäftigt sich mit der Aussage vom Satz des Thales, wohingegen Gruppe 1 und 3 die Umkehrung erforschen. <br />		Die Klasse wird in drei Gruppen geteilt. Gruppe 2 beschäftigt sich mit der Aussage vom Satz des Thales, wohingegen Gruppe 1 und 3 die Umkehrung erforschen. <br />
	SchülerInnen der ersten Gruppe erhalten neben dem Aufgabenblatt Overheadprojektor-Folien mit der schon vorgezeichneten Seite c des Dreiecks ABC, s.d. möglichst zügig gearbeitet werden kann. Die SuS sollen sich in der Gruppe austauschen und organisieren, wer welche Winkelgröße \beta in seinem/ihren Dreieck realisiert. Damit es nicht zu viel Folien sind, soll jeder Schüler/ jede Schülern der Gruppe mindestens zwei rechtwinklige Dreiecke mit unterschiedlichen Winkelgrößen für \beta mit Hilfe des Geodreiecks konstruieren. Danach sollen die Folien aufeinander gelegt werden, d.h. die SuS müssen zusammenarbeiten und überlegen, welche Bedingung (Seite c auf Seite c oder Rechte Winkel auf rechte Winkel) sie invariant halten möchten. Durch das Sammeln mehrerer unterschiedlicher, rechtwinkliger Dreieck mit gleicher Hypotenuse sollte die Vermutung der Umkehrung des Satz des Thales wecken, nämlich das der Eckpunkt C auf einer Kreislinie liegen muss (Seite c wird auf Seite c gelegt) oder das die Seiten c Durchmesser eines Kreises sind (Rechte Winkel werden aufeinander gelegt). Am Schluss soll ihre Vermutung auch kurz schriftlich festgehalten werden, damit im weiteren Verlauf der Unterrichtssequenz bei Behandlung der Umkehrung darauf verwiesen und die Vermutung mit dem Umkehrung des Satz des Thales verglichen werden kann.		SchülerInnen der ersten Gruppe erhalten neben dem Aufgabenblatt Overheadprojektor-Folien mit der schon vorgezeichneten Seite c des Dreiecks ABC, s.d. möglichst zügig gearbeitet werden kann. Die SuS sollen sich in der Gruppe austauschen und organisieren, wer welche Winkelgröße \beta in seinem/ihren Dreieck realisiert. Damit es nicht zu viel Folien sind, soll jeder Schüler/ jede Schülern der Gruppe mindestens zwei rechtwinklige Dreiecke mit unterschiedlichen Winkelgrößen für \beta mit Hilfe des Geodreiecks konstruieren. Danach sollen die Folien aufeinander gelegt werden, d.h. die SuS müssen zusammenarbeiten und überlegen, welche Bedingung (Seite c auf Seite c oder Rechte Winkel auf rechte Winkel) sie invariant halten möchten. Durch das Sammeln mehrerer unterschiedlicher, rechtwinkliger Dreieck mit gleicher Hypotenuse sollte die Vermutung der Umkehrung des Satz des Thales wecken, nämlich das der Eckpunkt C auf einer Kreislinie liegen muss (Seite c wird auf Seite c gelegt) oder das die Seiten c Durchmesser eines Kreises sind (Rechte Winkel werden aufeinander gelegt). Am Schluss soll ihre Vermutung auch kurz schriftlich festgehalten werden, damit im weiteren Verlauf der Unterrichtssequenz bei Behandlung der Umkehrung darauf verwiesen und die Vermutung mit dem Umkehrung des Satz des Thales verglichen werden kann.
			Gruppe 2 beschäftigt sich mit der Aufgabe, in einen vorgegebenen Halbkreis ein Dreieck ABC eizuzeichnen, dessen Winkel γ möglichst groß sein soll. Je nach Situation kann man diese Aufgabe auch als Wettbewerb verpacken. Ziel ist es, dass die SuS zu dem Schluss kommen, dass dieser Winkel immer 90 Grad beträgt, womit die Aussage des zu zeigenden Satzes motiviert wäre.
			Gruppe 3 arbeitet mit einem Applet von Geogebra, welches im Grunde einfach einen Kreis vorgibt. Die SuS sollen verschiedene rechtwinklige Dreiecke in den Kreis einzeichnen, deren Eckpunkte jeweils auf der Kreislinie liegen sollen. Ziel ist es hierbei, dass die SuS zu dem Schluss kommen, dass die Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks immer den Durchschnitt des Kreises darstellt.
			In jeder der drei Gruppen werden also verschiedene Szenarien behandelt, welche ein Verständnis für und eine Herangehensweise an den Satz des Thales ermöglichen sollen. Im Plenum können die Erkenntnisse der unterschiedlichen Gruppen vorgestellt und diskutiert werden.
	[[Datei:Arbeitsergebnis SatzEntdecken.pdf\|thumb\|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Entdecken und Erarbeiten der Aussage vom Satz des Thales“]]		[[Datei:Arbeitsergebnis SatzEntdecken.pdf\|thumb\|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Entdecken und Erarbeiten der Aussage vom Satz des Thales“]]

Katharinawagner96: /* Aktivierung von Vorwissen */

2019-07-07T11:08:02Z

Aktivierung von Vorwissen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 11:08 Uhr
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	Aufgabe 1: Eigenschaften eines Kreises, Beziehung zwischen den Punkten auf der Kreislinie		Aufgabe 1: Eigenschaften eines Kreises, Beziehung zwischen den Punkten auf der Kreislinie

	Aufgabe 2: Rechnen mit Winkeln (insbesondere Winkeladdition), Winkelsummensatz, Ergänzungswinkel		Aufgabe 2: Rechnen mit Winkeln (insbesondere Winkeladdition), Winkelsummensatz, Ergänzungswinkel

	Aufgabe 3: Gleichschenklige Dreiecke, Basiswinkelsatz, rechte Winkel		Aufgabe 3: Gleichschenklige Dreiecke, Basiswinkelsatz, rechte Winkel

	Aufgabe 4: Gleichungssysteme lösen (insbesondere mit dem Einsetzungsverfahren)		Aufgabe 4: Gleichungssysteme lösen (insbesondere mit dem Einsetzungsverfahren)

Katharinawagner96: /* Aktivierung von Vorwissen */

2019-07-07T11:06:57Z

Aktivierung von Vorwissen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 11:06 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	Zur Vorbereitung des Beweises zum Satz des Thales sollten die benötigten Regeln und Sätze in möglichst kurzer Zeit wiederholt werden. Als geeignete Methode ergab sich die Bearbeitung eines Arbeitsblattes mit vier Aufgaben in Einzelarbeit, um zu gewährleisten, dass jeder einzelne Schüler/jede einzelne Schülerin sich mit den Inhalten beschäftigt.		Zur Vorbereitung des Beweises zum Satz des Thales sollten die benötigten Regeln und Sätze in möglichst kurzer Zeit wiederholt werden. Als geeignete Methode ergab sich die Bearbeitung eines Arbeitsblattes mit vier Aufgaben in Einzelarbeit, um zu gewährleisten, dass jeder einzelne Schüler/jede einzelne Schülerin sich mit den Inhalten beschäftigt.

	Die konkrete Abfrage von Sätzen oder Definitionen erschien zur Vorbereitung des Beweises wenig sinnvoll, da beim Beweisen deren Anwendung erforderlich ist. Um die Problemstellungen zu verdeutlichen und Bezüge zur Problemstellung vom Satz des Thales herzustellen, sollten die SuS mit möglichst vielen Skizzen arbeiten.		Die konkrete Abfrage von Sätzen oder Definitionen erschien zur Vorbereitung des Beweises wenig sinnvoll, da beim Beweisen deren Anwendung erforderlich ist. Um die Problemstellungen zu verdeutlichen und Bezüge zur Problemstellung vom Satz des Thales herzustellen, sollten die SuS mit möglichst vielen Skizzen arbeiten. Mit dem Ziel, die SuS für das Transparentmachen der eigenen Vorgehensweise zu sensibilisieren, wurde in Aufgabe 2) von ihnen gefordert, die beim Lösen der Teilaufgaben verwendeten Regeln und Sätze zu benennen.

			Im Folgenden sollen kurz die mathematischen Inhalte benannt werden, auf welche die einzelnen Aufgaben abzielen:

			Aufgabe 1: Eigenschaften eines Kreises, Beziehung zwischen den Punkten auf der Kreislinie
			Aufgabe 2: Rechnen mit Winkeln (insbesondere Winkeladdition), Winkelsummensatz, Ergänzungswinkel
			Aufgabe 3: Gleichschenklige Dreiecke, Basiswinkelsatz, rechte Winkel
			Aufgabe 4: Gleichungssysteme lösen (insbesondere mit dem Einsetzungsverfahren)

	== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==		== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==

Katharinawagner96: /* Aktivierung von Vorwissen */

2019-07-07T10:56:45Z

Aktivierung von Vorwissen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 10:56 Uhr
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	[[Datei:Arbeitsergebnis Vorwissen.pdf\|thumb\|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Aktivieren von Vorwissen für den Satz des Thales“]]		[[Datei:Arbeitsergebnis Vorwissen.pdf\|thumb\|Ergebnis (Arbeitsblatt) zum Arbeitsauftrag: „Aktivieren von Vorwissen für den Satz des Thales“]]

			Zur Vorbereitung des Beweises zum Satz des Thales sollten die benötigten Regeln und Sätze in möglichst kurzer Zeit wiederholt werden. Als geeignete Methode ergab sich die Bearbeitung eines Arbeitsblattes mit vier Aufgaben in Einzelarbeit, um zu gewährleisten, dass jeder einzelne Schüler/jede einzelne Schülerin sich mit den Inhalten beschäftigt.

			Die konkrete Abfrage von Sätzen oder Definitionen erschien zur Vorbereitung des Beweises wenig sinnvoll, da beim Beweisen deren Anwendung erforderlich ist. Um die Problemstellungen zu verdeutlichen und Bezüge zur Problemstellung vom Satz des Thales herzustellen, sollten die SuS mit möglichst vielen Skizzen arbeiten.

	== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==		== Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales ==

Katharinawagner96: /* Diskussion */

2019-07-07T10:40:07Z

Diskussion

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 10:40 Uhr
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	Nachdem die einzelnen Teilnehmergruppen ihre Vorschläge zur unterrichtlichen Umsetzung der verschiedenen Bestandteile des Beweisprozesses zum Satz des Thales vorgestellt haben, wird im Plenum über die präsentierten Ergebnisse (Idee, Nutzen, Umsetzung, usw.) diskutiert. Die wesentlichen Diskussionspunkte sollen hier angeführt werden.		Nachdem die einzelnen Teilnehmergruppen ihre Vorschläge zur unterrichtlichen Umsetzung der verschiedenen Bestandteile des Beweisprozesses zum Satz des Thales vorgestellt haben, wird im Plenum über die präsentierten Ergebnisse (Idee, Nutzen, Umsetzung, usw.) diskutiert. Die wesentlichen Diskussionspunkte sollen hier angeführt werden.


	1. Aktivierung von Vorwissen		1. Aktivierung von Vorwissen
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	Diskutiert wurden vor allem mögliche Schwierigkeiten, die sich bei den präsentierten Konstruktionsaufgaben für die SuS ergeben könnten: Zum einen wurden Zweifel daran geäußert, inwiefern SuS in der Lage seien, Dreiecke zu einer gegebenen Seitenlänge und den angrenzenden Winkelgrößen zu konstruieren. Darüber hinaus gehen SuS bei Konstruktionsaufgaben zunächst davon aus, nur mit Zirkel und Lineal arbeiten zu dürfen. Eine mögliche Idee wäre deshalb - neben der Bereitstellung von Geodreiecken als Werkzeug - die Voranfertigung von Papierschnipseln mit rechten Winkeln als zusätzliches Werkzeug.		Diskutiert wurden vor allem mögliche Schwierigkeiten, die sich bei den präsentierten Konstruktionsaufgaben für die SuS ergeben könnten: Zum einen wurden Zweifel daran geäußert, inwiefern SuS in der Lage seien, Dreiecke zu einer gegebenen Seitenlänge und den angrenzenden Winkelgrößen zu konstruieren. Darüber hinaus gehen SuS bei Konstruktionsaufgaben zunächst davon aus, nur mit Zirkel und Lineal arbeiten zu dürfen. Eine mögliche Idee wäre deshalb - neben der Bereitstellung von Geodreiecken als Werkzeug - die Voranfertigung von Papierschnipseln mit rechten Winkeln als zusätzliches Werkzeug.


	Außerdem wurde eine weitere Methode vorgeschlagen, die sich für diese Beweisphase eignen würde: Mit einer dynamischen Mathematiksoftware (z.B. GeoGebra) könnten SuS bei gegebenen Voraussetzungen vom Satz des Thales (Halbkreis mit eingezeichnetem Durchmesser, der der Grundseite eines Dreieckes entspricht) die dritte, obere Ecke des Dreiecks auf der Kreislinie verschieben und so erfahren, dass der rechte Winkel am Halbkreis auch bei Verschiebung unverändert bleibe.		Außerdem wurde eine weitere Methode vorgeschlagen, die sich für diese Beweisphase eignen würde: Mit einer dynamischen Mathematiksoftware (z.B. GeoGebra) könnten SuS bei gegebenen Voraussetzungen vom Satz des Thales (Halbkreis mit eingezeichnetem Durchmesser, der der Grundseite eines Dreieckes entspricht) die dritte, obere Ecke des Dreiecks auf der Kreislinie verschieben und so erfahren, dass der rechte Winkel am Halbkreis auch bei Verschiebung unverändert bleibe.


	Generell erschienen die Ideen der Gruppe dennoch sinnvoll. Gelobt wurden vor allem die verschiedenen Möglichkeiten und Richtungen, den Satz des Thales erfahrbar zu machen (Satz und Kehrsatz).		Generell erschienen die Ideen der Gruppe dennoch sinnvoll. Gelobt wurden vor allem die verschiedenen Möglichkeiten und Richtungen, den Satz des Thales erfahrbar zu machen (Satz und Kehrsatz).
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	Positiv hervorgehoben wurde vor allem, dass mit den gestellten Aufgaben das Wiedererkennen der Thalesfigur trainiert und die Bildung von Prototypen vermieden werde.		Positiv hervorgehoben wurde vor allem, dass mit den gestellten Aufgaben das Wiedererkennen der Thalesfigur trainiert und die Bildung von Prototypen vermieden werde.


	4. Beweisfindung und Argumentation		4. Beweisfindung und Argumentation

	Sehr sinnvoll erschien die Strukturierung der Argumentation in vier Arbeitsschritte sowie die innere Differenzierung der Aufgaben. SuS, für die das Anforderungsniveau zu hoch ist, können zusätzliche Hinweise und Hilfestellungen zur Bearbeitung erhalten. Ebenfalls hilfreich und ansprechend erscheint die Verwendung von Skizzen und farblichen Markierungen.		Sehr sinnvoll erschien die Strukturierung der Argumentation in vier Arbeitsschritte sowie die innere Differenzierung der Aufgaben. SuS, für die das Anforderungsniveau zu hoch ist, können zusätzliche Hinweise und Hilfestellungen zur Bearbeitung erhalten. Ebenfalls hilfreich und ansprechend erscheint die Verwendung von Skizzen und farblichen Markierungen.

Katharinawagner96: /* Diskussion */

2019-07-07T10:38:52Z

Diskussion

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 10:38 Uhr
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	= Diskussion =		= Diskussion =

			Nachdem die einzelnen Teilnehmergruppen ihre Vorschläge zur unterrichtlichen Umsetzung der verschiedenen Bestandteile des Beweisprozesses zum Satz des Thales vorgestellt haben, wird im Plenum über die präsentierten Ergebnisse (Idee, Nutzen, Umsetzung, usw.) diskutiert. Die wesentlichen Diskussionspunkte sollen hier angeführt werden.

			1. Aktivierung von Vorwissen

			Kritik erntete die Formulierung der Frage im Aufgabenteil 3c), die für SuS vermutlich verwirrend und umständlich erscheint. Ausgehend von dem explizit dargestellten Dreieck sollten die SuS nämlich Aussagen über allgemeine Dreiecke treffen. Daneben erschien die konkrete Benennung der Winkelgröße des in der Skizze bereits eingezeichneten rechten Winkels wenig sinnvoll.

			Darüber hinaus wurde darauf hingewiesen, dass das skizzierte Dreieck zu Aufgabe 3 nicht nur ein gleichschenkliges, sondern zusätzlich auch ein rechtwinkliges Dreieck, und damit ein extremer Spezialfall des Dreiecks sei. Sinnvoller sei die "Aufteilung" der Aufgabenstellung bzw. die Verwendung eines gleichschenkligen, aber nicht rechtwinkligen Dreiecks, da die Aufgabe ohnehin eher auf die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken abziele.


			2. Entdecken und Formulieren vom Satz des Thales

			Diskutiert wurden vor allem mögliche Schwierigkeiten, die sich bei den präsentierten Konstruktionsaufgaben für die SuS ergeben könnten: Zum einen wurden Zweifel daran geäußert, inwiefern SuS in der Lage seien, Dreiecke zu einer gegebenen Seitenlänge und den angrenzenden Winkelgrößen zu konstruieren. Darüber hinaus gehen SuS bei Konstruktionsaufgaben zunächst davon aus, nur mit Zirkel und Lineal arbeiten zu dürfen. Eine mögliche Idee wäre deshalb - neben der Bereitstellung von Geodreiecken als Werkzeug - die Voranfertigung von Papierschnipseln mit rechten Winkeln als zusätzliches Werkzeug.


			Außerdem wurde eine weitere Methode vorgeschlagen, die sich für diese Beweisphase eignen würde: Mit einer dynamischen Mathematiksoftware (z.B. GeoGebra) könnten SuS bei gegebenen Voraussetzungen vom Satz des Thales (Halbkreis mit eingezeichnetem Durchmesser, der der Grundseite eines Dreieckes entspricht) die dritte, obere Ecke des Dreiecks auf der Kreislinie verschieben und so erfahren, dass der rechte Winkel am Halbkreis auch bei Verschiebung unverändert bleibe.


			Generell erschienen die Ideen der Gruppe dennoch sinnvoll. Gelobt wurden vor allem die verschiedenen Möglichkeiten und Richtungen, den Satz des Thales erfahrbar zu machen (Satz und Kehrsatz).


			3. Exploration des Phänomensituation (Thalesfiguren)

			Positiv hervorgehoben wurde vor allem, dass mit den gestellten Aufgaben das Wiedererkennen der Thalesfigur trainiert und die Bildung von Prototypen vermieden werde.

			4. Beweisfindung und Argumentation

			Sehr sinnvoll erschien die Strukturierung der Argumentation in vier Arbeitsschritte sowie die innere Differenzierung der Aufgaben. SuS, für die das Anforderungsniveau zu hoch ist, können zusätzliche Hinweise und Hilfestellungen zur Bearbeitung erhalten. Ebenfalls hilfreich und ansprechend erscheint die Verwendung von Skizzen und farblichen Markierungen.

Katharinawagner96: /* Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises */

2019-07-07T10:00:32Z

Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 10:00 Uhr
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	== Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises ==		== Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises ==

			Dieser Bestandteil ähnelt stark dem "Explorieren oder Operativen Durcharbeiten der Problemsituation". Nachdem der Beweisprozess an sich abgeschlossen ist, handelt es sich bei dieser Phase um eine Art Rückschau, die der Überprüfung des Beweises dienen soll: "Sind die aufgestellten Voraussetzungen wirklich nötig? Welche Auswirkung hat das Weglassen einer Bedingung?"

	= Kollaborative Unterrichtsskizze zur Beweisaufgabe: „Satz des Thales“ =		= Kollaborative Unterrichtsskizze zur Beweisaufgabe: „Satz des Thales“ =

Katharinawagner96: /* Formalisierung der Beweisargumentation */

2019-07-07T09:55:29Z

Formalisierung der Beweisargumentation

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2019, 09:55 Uhr
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	== Formalisierung der Beweisargumentation ==		== Formalisierung der Beweisargumentation ==

			Diese Phase dient dazu, die bereits aufgestellte Argumentationskette zu formalisieren, d.h. den Beweis in "die Sprache der Mathematik zu übersetzen". Die Formalisierung des Beweises spielt im Mathematikunterricht jedoch meist eine eher untergeordnete Rolle und soll deshalb auch in der geplanten Unterrichtsstunde zum Beweis vom Satz des Thales vernachlässigt werden.

	== Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises ==		== Rückschau, operatives Durcharbeiten des Beweises ==

Katharinawagner96: /* Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente */

2019-07-06T15:42:16Z

Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2019, 15:42 Uhr
Zeile 46:		Zeile 46:

	== Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente ==		== Beweisfindung und inhaltlich-anschauliche Argumente ==

			Nachdem die SuS erarbeitet haben, welche Bedingungen/Voraussetzungen der Problemstellung relevant für die zu beweisende Aussage sind, müssen sie Argumente für deren Gültigkeit sammeln. Diese müssen noch nicht formalisiert festgehalten werden, sondern können auch inhaltlich-anschaulicher Art sein. Wesentlich ist in dieser Phase auch die Verknüpfung der Argumente zu einer kohärenten und logischen Argumentationskette.

	== Formalisierung der Beweisargumentation ==		== Formalisierung der Beweisargumentation ==