Geradenspiegelungen (2012/13) - Versionsgeschichte

m.g.: /* Satz 2.2 */

2012-11-05T14:56:55Z

Satz 2.2

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:56 Uhr
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	==== Satz 2.2 ====		==== Satz 2.2 ====
	:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />		:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />
	~~Der Beweis kann direkt geführt werden, da er dem Beweis der Eindeutigkeit des Mittelpunktes nachgeht. Nehmen wir aber dennoch an, es gibt eine zweite Spiegelgerade f, mit f<math>\neq</math> g.~~
	~~<br />~~
	~~<br />~~
	~~Es seien P ein Punkt und P' das Bild des Punktes P. P' entstand durch Spiegelung an g.<br />~~
	~~Der Schnittpunkt von <math>g \cap \overline{PP'} </math> sei L.<br /><br />~~
	~~Nach der Definition der Geradenspiegelung (bzw. Bild eines Punktes bei der Spiegelung) ist nun L Mittelpunkt von <math> \overline{PP'} </math>.<br />~~
	Da der Mittelpunkt einer Strecke eindeutig ist, muss nun gelten, dass f ebenfalls durch L verläuft und senkrecht ist. Da aber nach dem Winkelkonstruktionsaxiom nur ein Winkel mit dem Maß 90 existiert, muss f <math>\equiv</math> g sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 21:29, 31. Okt. 2011 (CET)

	==== Satz 2.3 ====		==== Satz 2.3 ====

m.g.: /* Fall 2 */

2012-11-05T14:55:58Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:55 Uhr
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	=====Fall 2=====		=====Fall 2=====
	::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>		::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
	'''Beweis:<'''~~br />~~		'''Beweis:'''

	=====Fall 3=====		=====Fall 3=====

m.g.: /* Fall 3 */

2012-11-05T14:55:01Z

Fall 3

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:55 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />		::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

	'''Beweis:<'''~~br>~~		'''Beweis:'''

	=====Fall 4=====		=====Fall 4=====

m.g.: /* Fall 3 */

2012-11-05T14:54:28Z

Fall 3

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:54 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />		::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

	Beweis:<br>		'''Beweis:<'''br>

	=====Fall 4=====		=====Fall 4=====

m.g.: /* Fall 4 */

2012-11-05T14:52:45Z

Fall 4

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:52 Uhr
Zeile 91:		Zeile 91:
	=====Fall 4=====		=====Fall 4=====
	::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />		::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />

	Beweis<ggb_applet width="1280" height="857" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

	~~Leitgedanke:~~
	~~Die beiden Dreiecke BB'C und AA'C sind gleichschenklig (trivial)<br>~~
	~~Es gibt den Schnittpunkt C = AB geschnitten A'B', wegen A und B befinden sich in verschiedenen Halbebenen + wäre wenn nicht widerspruch zur gleischenkligkeit (mittelsenkrechtenkriterium)<br>~~
	~~und daraus würde dann die Gleichheit folgen.<br>~~
	~~müsste noch ausformuliert werden.~~
	~~--[[Benutzer:Peterpummel\|Peterpummel]] 22:23, 7. Nov. 2011 (CET)~~

	== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==		== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==

m.g.: /* Fall 3 */

2012-11-05T14:52:17Z

Fall 3

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:52 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:

	=====Fall 3=====		=====Fall 3=====
	<ggb_applet width="1280" height="857" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
	::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />		::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

	Beweis:<br>		Beweis:<br>

	~~Sei <math> L_a := AA' \cap g </math> und <math> L_b := BB' \cap g </math><br>~~
	~~nach Definition der Gradespiegelung ist g Mittelsenkrechte von <math> \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}</math> <br>~~
	~~<math>\Rightarrow L_a \wedge L_b </math> sind Mittelpunkt der Strecken <math> \overline{AA'} \wedge \overline{BB'}</math><br>~~
	~~<math>\Rightarrow \left\| AL_a \right\| = \left\| A'L_a \right\| \wedge \left\| BL_b \right\| = \left\| B'L_b \right\|\box </math><br>~~
	~~Ferner gilt da g Mittelsenkrechte ist <math>\|\angle L_bL_aA'\|=\|\angle AL_aL_b\|=90\box \box </math><br>~~
	~~Trivialerweise gilt <math>\left\| L_aL_b \right\| = \left\| L_aL_b \right\|\box \box \box </math><br>~~
	Aus <math>\box ,\box \box ,\box \box \box , SWS \Rightarrow \overline{A'L_aL_b}\equiv \overline{AL_aL_b} \Rightarrow \left\| A'L_b \right\| = \left\| AL_b \right\| \wedge \angle A'L_bL_a\equiv \angle L_aL_bA \Rightarrow \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB</math><br>
	~~Nun gilt: <math>\left\| A'L_b \right\| =\left\| AL_b \right\| \wedge \left\| B'L_b \right\| =\left\| BL_b \right\| \wedge \angle B'L_bA'\equiv \angle AL_bB </math><br>~~
	~~<math>\Rightarrow \overline{A'B'L_B}\equiv \overline{ABL_B} \Rightarrow \left\| AB \right\| =\left\| A'B' \right\|</math>~~
	~~--[[Benutzer:Peterpummel\|Peterpummel]] 19:42, 7. Nov. 2011 (CET)~~

	=====Fall 4=====		=====Fall 4=====

m.g.: /* Fall 2 */

2012-11-05T14:51:36Z

Fall 2

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:51 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	=====Fall 2=====		=====Fall 2=====
	::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>		::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
	Beweis:<br />		'''Beweis:<'''br />

	=====Fall 3=====		=====Fall 3=====

m.g.: /* Fall 2 */

2012-11-05T14:51:08Z

Fall 2

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 ::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>
 Beweis:<br />
 =====Fall 3=====

m.g.: /* Fall 1 */

2012-11-05T14:50:27Z

Fall 1

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:50 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	=====Fall 1=====		=====Fall 1=====
	::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>		::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
	Beweis: <br />		'''Beweis:''' <br />
	Nach der Definition 'Bild eines Punktes bei einer Geradenspiegelung' und des Satzes, dass die Zwischenrelation eine Invariante der Bewegung ist, ergibt sich das von selbst. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 20:53, 31. Okt. 2011 (CET)

	=====Fall 2=====		=====Fall 2=====

m.g.: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

2012-11-05T14:49:21Z

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g)

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2012, 14:49 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	==Definition des Begriffs==		==Definition des Begriffs==
	=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====		=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
	::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ~~bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und der Punkt P so abgebildet wird, dass gilt: <math>\overline{P\rho(P) } \perp g</math> und <math>\|Pg\| = \|g\rho (P)\|</math>~~.		::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, ...

	~~Zweite Möglichkeit (etwas einfacher und plausibler ausgedrückt):~~

	~~::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade~~. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math>versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der die Gerade g auf sich abgebildet wird und Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P\rho(P) }</math> ist.
	~~<br />~~
	~~--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 20:29, 31. Okt. 2011 (CET)~~

	==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==		==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==

Geradenspiegelungen (2012/13) - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Satz 2.2 */

*m.g.*: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* Fall 3 */

*m.g.*: /* Fall 3 */

*m.g.*: /* Fall 4 */

*m.g.*: /* Fall 3 */

*m.g.*: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* Fall 2 */

*m.g.*: /* Fall 1 */

*m.g.*: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

m.g.: /* Satz 2.2 */

m.g.: /* Fall 2 */

m.g.: /* Fall 3 */

m.g.: /* Fall 3 */

m.g.: /* Fall 4 */

m.g.: /* Fall 3 */

m.g.: /* Fall 2 */

m.g.: /* Fall 2 */

m.g.: /* Fall 1 */

m.g.: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */