Geradenspiegelungen (2015 16) - Versionsgeschichte

m.g.: /* Satz 2.2 */

2015-11-16T11:59:21Z

Satz 2.2

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 11:59 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	Fall 3:		Fall 3:
	====Satz 2.2====		====Satz 2.2====
	Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung.		Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung entsprechend Definition 2.1.

	== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==		== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==

m.g.: /* Geradenspiegelungen als Bewegungen */

2015-11-16T11:58:27Z

Geradenspiegelungen als Bewegungen

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 11:58 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:
	Fall 2:<br />		Fall 2:<br />
	Fall 3:		Fall 3:
			====Satz 2.2====
			Jede Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden ist eine Geradenspiegelung.

	== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==		== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==

m.g.: /* Übungsaufgabe: */

2015-11-16T11:52:22Z

Übungsaufgabe:

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 11:52 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	\| Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>		\| Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>
	\| Fällen des Lotes von <math>P</math> auf die Gerade <math>g</math>.		\| Fällen des Lotes von <math>P</math> auf die Gerade <math>g</math>.
	\| ~~...~~		\| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
	\|-		\|-
	\| 2.		\| 2.

m.g. am 16. November 2015 um 10:39 Uhr

2015-11-16T10:39:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:39 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	====Übungsaufgabe:====		====Übungsaufgabe:====

	Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.		Es sei <math>P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>g</math> dieser Ebene gehört.
	Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.		Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>P</math> bei der Spiegelung an <math>g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


	{\| class="wikitable center"		{\| class="wikitable center"
	\|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,		\|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>g</math>,
	<math>(P \notin g) </math>		<math>(P \notin g) </math>
	\|- style="background: #DDFFDD;"		\|- style="background: #DDFFDD;"
Zeile 69:		Zeile 69:
	==Definition des Begriffs==		==Definition des Begriffs==
	=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math> g</math>)=====		=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math> g</math>)=====
	::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math> S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt <math>P</math> der Ebene wie folgt auf sein Bild <math>P'</math> abbildet:		::Es sei <math>g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math> S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt <math>P</math> der Ebene wie folgt auf sein Bild <math>P'</math> abbildet:
	# <math>P \equiv P'</math>, falls <math> P \in g </math>		# <math>P \equiv P'</math>, falls <math> P \in g </math>
	# <math>g</math> ist die Mittelsenkrechte von <math> \overline{PP'}</math>, sonst.		# <math>g</math> ist die Mittelsenkrechte von <math> \overline{PP'}</math>, sonst.

m.g.: /* Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Spiegelung an der Geraden \ g */

2015-11-16T10:38:16Z

Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Spiegelung an der Geraden \ g

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:38 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)		--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

	==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==		==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math> P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math> g</math>==

	<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />		<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIABy0Wj0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VhNk+I2ED1nf4XKh9zw+NumArMFs1WpqUx2qCLZQy4pYQujYFuOJDMwvz4tyQYDGwYmmxyyhzVqtbql16+frRl93JYF2hAuKKvGlms7FiJVyjJa5WOrkctBYn28/zDKCcvJgmO0ZLzEcmz5tmcpe0PvP3w3Eiv2gnChXb5Q8jK2lrgQxEKi5gRnYkWIPLLjZksLivnuefEHSaU4TJggj1XdQBbJG7ClZfZERTe80wnrgspPdEMzwlHB0rEVhbB1+PWFcElTXIytwDEWb2x5J5Ng8tXsinH6yiqp3A/Bl2BBSNBXAohExpaySsw4kw+saMpKIJSywtlvkBVu77fX++3vTwaDoD8I+ym78AwmUCMIpGFcdHEUvM9VsZsCmOua0eoA2NHqz3hDcyyhlFPM9aouQl3g3bSRUhX5YPlE4L+26jWsP/ZQUeeS1GMrVmlGd7rYI9KkBc0orlRBdS0AKIReaCZXYyv0I4CV0HwF9Qpct9sg49l8JyQp0fY3whkkTRKVdmdGfuypkYDaAOiho6f6Ix2GbOZESqCmQHhLDqTJOc2OBo9iyoqDSUP2gGvZcM1rvzXN5U4lgFxcbXhS5QVpbR6cf0XS9YJt54YIvgn9y67WS/SGFrkuFOKKYiE4tM+FeWoftdO9l6N9HO3RxlBB9/Pu0NMe+rkwT+1V0MpsrT25253adbo0VCBlcKy28u3hC7wgQG8LNRWVT90A2mDdHtU1Cz435YLsOXcc0/1WMUd3J/QZrQmvSNGyGGrbsEagjWrIHsEzktIShmaihQSrcv0KGzDWjOScdBs3KmIA07NOn4gn5tFdtwndSbDXVPUQnEeqs/xkbGtty4hAU1qoB4GSCDRrqrVUT7QgVNs4mteU5KRoqhxhtYSjHwnHGalQrqRPguyMrdLObQtlWEIKJaWkICUB4ZGaYJqfe6An1l5lmRbM00r0sAKHr9JNExMX9QqDpeso6H/YXR8hHfBnlh3jhivAXwMgtCI4tqpwTUjWyods20Lrim6yI30C1AXaKl9Yt1OvDz+x0KtZrH1MQyop0Xn9li0GlDfgmf5f4IG3qqfxcewkug2flJUlrjJU4RIyPQEPNShUvUgRdhSHEHYVVgaGRnYTuQnVBjiDWinPHsjcOhYjuYKehzYQWjFlXxuPymHeKG2Qg8D8XTGcq0vxvFwKIhV2YaSRC+NLhTpA7dmhgdqzXU9DPRjaQz+OTvX2whHJn5XxEUb1aAmfJSmVt3B3ds7dG8G6hbkHuAaxacSLcH0rXg8cOzblce3Y+yfEfuagnjmrcPEVis8MxfMziuMbKI6voLgbvsXxKxTnepKf1WWx/xA05v6H5B5zQ+xdR3XF8NAeBuFVDO9OeC3Fj6v0WEl47QMqJwXKTYHwWYGefp9dLtFx0yj397RNFGj81WNhHjf3jesYHvvXyYzr2YGfOIlptsh2QifyAtMBIPJBkDj7f+57GuKB8rQ4bQSFj0Z6doZ0ehln+ACi6R7F9JpeeFPv/91euG53cCMh1Qb2BtcqhLZOq187x2REr51l62q5UnNua3p1e3IFesjpFk06/0nnNYFrX2S7YeQEXuxFQRQPE7gzTPw2wwRufwP4/gmioRsF0IdwO4o8kO4J3AQH8EHkBZ7v+n4UxXGQdF162n8gvild0vR9/Zd2/YewuhV3Z+rRY/Y9rpn44ZZm7Jb8pw15oeV8aDI/8b1hMnQSz1cQQ+8F9tBLgsiLYt8Pg2EMAnfTa+iufzXQt+H2TyL3fwFQSwcI4fslMCoFAABEEQAAUEsBAhQAFAAIAAgAHLRaPeH7JTAqBQAARBEAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAABkBQAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

m.g.: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

2015-11-16T10:37:53Z

Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g)

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:37 Uhr
Zeile 68:		Zeile 68:

	==Definition des Begriffs==		==Definition des Begriffs==
	=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====		=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math> g</math>)=====
	::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt <math>P</math> der Ebene wie folgt auf sein Bild <math>P'</math> abbildet:		::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math> S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, die jeden Punkt <math>P</math> der Ebene wie folgt auf sein Bild <math>P'</math> abbildet:
	# <math>P \equiv P'</math>, falls <math> P \in g </math>		# <math>P \equiv P'</math>, falls <math> P \in g </math>
	# <math>g</math> ist die Mittelsenkrechte von <math> \overline{PP'}</math>, sonst.		# <math>g</math> ist die Mittelsenkrechte von <math> \overline{PP'}</math>, sonst.



	==Geradenspiegelungen als Bewegungen==		==Geradenspiegelungen als Bewegungen==

m.g.: /* Beweis von Satz 2.1: */

2015-11-16T10:37:12Z

Beweis von Satz 2.1:

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:37 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	\| (II)\|\| Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.		\| (II)\|\| Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.
	\|}		\|}
	Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an der Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> durch die Spiegelung an <math>g</math> abgebildet werden.		Es seien <math> A</math>, <math> B</math> zwei Punkte, die an der Geraden <math> g</math> auf ihre Bilder <math> A'</math> und <math> B'</math> durch die Spiegelung an <math>g</math> abgebildet werden.

	Wir unterscheiden drei Fälle:<br />		Wir unterscheiden drei Fälle:<br />

m.g.: /* Satz 2.3 */

2015-11-16T10:36:42Z

Satz 2.3

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:36 Uhr
Zeile 106:		Zeile 106:

	==== Satz 2.3 ====		==== Satz 2.3 ====
	:: Eine Geradenspiegelung <math>~~\ S>_g~~</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S_g(P)</math> gilt.		:: Eine Geradenspiegelung <math> S_g</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math> P</math> und dem Bild von <math> S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math> P \not= S_g(P)</math> gilt.
	<br />		<br />

	'''Beweis'''		'''Beweis'''

	~~[[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelbild.JPG\|700px]]~~

	~~--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)~~

m.g.: /* Satz 2.3 */

2015-11-16T10:35:18Z

Satz 2.3

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:35 Uhr
Zeile 106:		Zeile 106:

	==== Satz 2.3 ====		==== Satz 2.3 ====
	:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.		:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S>_g</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S_g(P)</math> gilt.
	<br />		<br />

m.g.: /* Beweis von Satz 2.1: */

2015-11-16T10:34:10Z

Beweis von Satz 2.1:

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2015, 10:34 Uhr
Zeile 80:		Zeile 80:

	====Beweis von Satz 2.1:====		====Beweis von Satz 2.1:====
			Es sind zwei Dinge zu zeigen:<br />
			{\| class="wikitable"
			\|-
			\| (I) \|\| Jede Geradenspiegelung hat genau eine Fixpunktgerade.
			\|-
			\| (II)\|\| Jede Geradenspiegelung ist abstandserhaltend.
			\|}
			Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an der Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> durch die Spiegelung an <math>g</math> abgebildet werden.

	~~Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an der Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> durch die Spiegelung an <math>g~~</~~math~~> ~~abgebildet werden.~~		Wir unterscheiden drei Fälle:<br />

	~~Wir unterscheiden drei Fälle:~~
	Fall 1:<br />		Fall 1:<br />
	Fall 2:<br />		Fall 2:<br />

Geradenspiegelungen (2015 16) - Versionsgeschichte

*m.g.*: /* Satz 2.2 */

*m.g.*: /* Geradenspiegelungen als Bewegungen */

*m.g.*: /* Übungsaufgabe: */

*m.g.* am 16. November 2015 um 10:39 Uhr

*m.g.*: /* Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Spiegelung an der Geraden \ g */

*m.g.*: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

*m.g.*: /* Beweis von Satz 2.1: */

*m.g.*: /* Satz 2.3 */

*m.g.*: /* Satz 2.3 */

*m.g.*: /* Beweis von Satz 2.1: */

m.g.: /* Satz 2.2 */

m.g.: /* Geradenspiegelungen als Bewegungen */

m.g.: /* Übungsaufgabe: */

m.g. am 16. November 2015 um 10:39 Uhr

m.g.: /* Konstruktion des Bildes eines Punktes \ P bei einer Spiegelung an der Geraden \ g */

m.g.: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

m.g.: /* Beweis von Satz 2.1: */

m.g.: /* Satz 2.3 */

m.g.: /* Satz 2.3 */

m.g.: /* Beweis von Satz 2.1: */