Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12 - Versionsgeschichte

Jessy: / Gruppeneigenschaften */

2013-01-15T14:54:11Z

Gruppeneigenschaften

m.g.: /* Gruppeneigenschaften */

2012-12-12T13:14:37Z

Gruppeneigenschaften

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 13:14 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a</math><br /><br />		<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b = b \odot a</math><br /><br />
	--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 11:38, 12. Dez. 2012 (CET)		--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 11:38, 12. Dez. 2012 (CET)

			<u>Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 14:14, 12. Dez. 2012 (CET):</u><br />
			Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden:<br />
			Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.

	=Beispiele für endliche Gruppen=		=Beispiele für endliche Gruppen=

Jessy: / Gruppeneigenschaften */

2012-12-12T13:02:31Z

Gruppeneigenschaften

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 13:02 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element von M gibt es ein Inverses Element <br />		'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element von M gibt es ein Inverses Element <br />
	<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />		<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />
	Erfüllt eine Menge M bezüglich einer Verknüfung <math>\odot</math> hingegen nicht alle, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />		Erfüllt eine Menge M bezüglich einer Verknüfung <math>\odot</math> hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />
	Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />		Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />
	'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br />		'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br />

Jessy: / Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats */

2012-12-12T10:43:16Z

Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 10:43 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ<br />		2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ<br />
	3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />		3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
	4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br /><br />		4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br />
			5. Kommutativ: Drehungen sind immer kommutativ<br /><br />
			Es handelt sich also sogar um eine abelsche Gruppe.<br /><br />
	Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.<br /><br />		Anmerkung: Die Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats ist eine zyklische Gruppe.<br /><br />
	--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br />		--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 16:26, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br />

Jessy: / Gruppeneigenschaften */

2012-12-12T10:40:26Z

Gruppeneigenschaften

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 10:40 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	<math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br />		<math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br />
	'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element von M gibt es ein Inverses Element <br />		'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element von M gibt es ein Inverses Element <br />
	<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad mit a^{-1} \in M und e = neutrales Element~~</math>~~<br /><br />		<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />
	Erfüllt eine Menge M bezüglich einer Verknüfung <math>\odot</math> hingegen nicht alle, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />		Erfüllt eine Menge M bezüglich einer Verknüfung <math>\odot</math> hingegen nicht alle, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />
	Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />		Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />

Jessy: / Gruppeneigenschaften */

2012-12-12T10:38:43Z

Gruppeneigenschaften

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 =Gruppeneigenschaften=
-Eine Menge ist bezüglich einer Verknüpfung bzw. einer Operation eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />
+Eine Menge M ist bezüglich einer Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />
 =Beispiele für endliche Gruppen=

Jessy: / Beispiele für endliche Gruppen */

2012-12-12T10:12:40Z

Beispiele für endliche Gruppen

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 10:12 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	<!--- hier drüber nichts eintragen --->		<!--- hier drüber nichts eintragen --->


			=Gruppeneigenschaften=
			Eine Menge ist bezüglich einer Verknüpfung bzw. einer Operation eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />

	=Beispiele für endliche Gruppen=		=Beispiele für endliche Gruppen=

Jessy: / Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks */

2012-12-12T09:30:24Z

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 09:30 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />		<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />
	1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />		1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />
	2. Assoziativität: <br />		2. Assoziativität: Gegeben <br />
	3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />		3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
	4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />		4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />

Jessy: / Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats */

2012-12-12T09:29:21Z

Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 09:29 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG\| 200px]]<br /><br />		[[Bild:Verknüpfungstafel_DR.3JPG.JPG\| 200px]]<br /><br />
	<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />		<u>'''Überprüfung der Gruppeneigenschaften:'''</u><br />
	1. Abgeschlossenheit ~~-->~~ siehe Verknüpfungstabelle<br />		1. Abgeschlossenheit: siehe Verknüpfungstabelle<br />
	2. Assoziativität ~~-->~~ Drehungen sind immer assoziativ<br />		2. Assoziativität: Drehungen sind immer assoziativ<br />
	3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />		3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
	4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br /><br />		4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{90} \cdot D_{270} = D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>D_{270} \cdot D_{90} = D_{0}</math><br /><br />

Jessy: / Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks */

2012-12-12T09:17:36Z

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2012, 09:17 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:
	3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />		3. Neutrales Element: <math>D_{0}</math><br />
	4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />		4. Inverse Elemente: <math>D_{0} \cdot D_{0}= D_{0}</math> und <math>D_{180} \cdot D_{180} = D_{0}</math> und <math>S_{m} \cdot S_{m} = D_{0}</math> und <math>S_{n} \cdot S_{n} = D_{0}</math><br /><br />
	Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch '''Kleinsche Vierergruppe''' genannt.		Anmerkung: Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe und wird auch '''Kleinsche Vierergruppe''' genannt.<br /><br />
			--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 10:17, 12. Dez. 2012 (CET)<br /><br />

← Nächstältere Version		Version vom 15. Januar 2013, 14:54 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	=Gruppeneigenschaften=		=Gruppeneigenschaften=
	Eine ~~Menge M ist bezüglich einer~~ Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />		Eine Verknüpfung <math>\odot</math> bzw. einer Operation auf einer Menge M ist eine '''Gruppe''', wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:<br />
	'''1. Abgeschlossenheit:''' die ~~Menge M ist bezüglich der~~ Verknüfung <math>\odot</math> abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge<br />		'''1. Abgeschlossenheit:''' die Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist abgeschlossen: Verknüpft man ein Element der Menge mit einem anderen Element der Menge, erhält man wiederum ein Element der Menge<br />
	<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math><br />		<math> \quad \quad \forall a,b \in M: a \odot b \in M</math><br />
	'''2. Assoziativität:''' die ~~Menge M ist bezüglich der~~ Verknüfung <math>\odot</math> assoziativ<br />		'''2. Assoziativität:''' die Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M ist assoziativ<br />
	<math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math><br />		<math> \quad \quad \forall a,b,c \in M: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math><br />
	'''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e <br />		'''3. Neutrales Element:''' Innerhalb der Menge M gibt es ein neutrales Element e <br />
	<math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br />		<math> \quad \quad \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math><br />
	'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element ~~von~~ M gibt es ein Inverses Element <br />		'''4. Inverse Elemente:''' Für jedes Element aus M gibt es ein Inverses Element <br />
	<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />		<math> \quad \quad \forall a \in M: a \odot a^{-1} = e \quad \quad \quad \quad</math> mit <math>a^{-1} \in M</math> und e = neutrales Element<br /><br />
	Erfüllt eine ~~Menge M bezüglich einer~~ Verknüfung <math>\odot</math> hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />		Erfüllt eine Verknüfung <math>\odot</math> auf der Menge M hingegen nicht alle Punkte, aber mindestnes die <u>Abgeschlossenheit</u> und die <u>Assoziativität</u>, so handelt es sich um eine '''Halbgruppe'''.<br /><br />
	Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />		Erfüllt eine Gruppe zusätzlich eine weitere Eigenschaft, nämmlich die Kommutativität, so ist sie eine '''kommutative bzw. abelsche Gruppe'''<br />
	'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br />		'''5. Kommutativität:''' Die Reihenfolge in welcher die Elemente der Menge M mit <math>\odot</math> Verknüpft werden ist egal<br />
Zeile 23:		Zeile 23:
	<u>Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 14:14, 12. Dez. 2012 (CET):</u><br />		<u>Bemerkung --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 14:14, 12. Dez. 2012 (CET):</u><br />
	Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden:<br />		Vielen Dank für Ihre Bemühungen. bezüglich der Abgeschlossenheit muss ein wenig korrigiert werden:<br />
	Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.		Man spricht nicht davon, dass die Menge bezüglich der Verknüpfung abgeschlossen ist, sondern dass die Verknüpfung auf der Menge abgeschlossen ist also nicht aus der Menge hinausführt.<br />
			--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 15:54, 15. Jan. 2013 (CET) Stimmt es nun so?

	=Beispiele für endliche Gruppen=		=Beispiele für endliche Gruppen=

Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12 - Versionsgeschichte

Jessy*: /* Gruppeneigenschaften */

*m.g.*: /* Gruppeneigenschaften */

Jessy*: /* Gruppeneigenschaften */

Jessy*: /* Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats */

Jessy*: /* Gruppeneigenschaften */

Jessy*: /* Gruppeneigenschaften */

Jessy*: /* Beispiele für endliche Gruppen */

Jessy*: /* Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks */

Jessy*: /* Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats */

Jessy*: /* Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks */

Jessy: / Gruppeneigenschaften */

m.g.: /* Gruppeneigenschaften */

Jessy: / Gruppeneigenschaften */

Jessy: / Gruppe der Deckdrehungen des Quadrats */

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Jessy: / Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks */