Gruppendefinition (Gleichung) - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Beweis von Satz 7 */ kleine Ergänzung bzgl. x=y=a^{-1}

2018-07-13T13:56:54Z

Beweis von Satz 7: kleine Ergänzung bzgl. x=y=a^{-1}

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juli 2018, 13:56 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	* <math>y \odot a = e</math>		* <math>y \odot a = e</math>
	lösbar.		lösbar.

			Daraus folgt, dass <math>x,y</math> Inverse von <math>a</math> sind, also <math>x=y=a^{-1}</math> (nach Satz 4).

	=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=		=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
	Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen		Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen

AndyWeber: /* Existenzbeweis */ Umformung nach x eingefügt

2018-07-13T13:47:30Z

Existenzbeweis: Umformung nach x eingefügt

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
 ===Existenzbeweis===
-Wir setzen <math>x=a^{-1}\odot b</math>: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
+Zuerst formen wir <math>a\odot x=b</math> um:
 ===Eindeutigkeitsbeweis===
 Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>

AndyWeber: /* Beweis von Satz 4 */

2018-07-13T13:00:37Z

Beweis von Satz 4

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juli 2018, 13:00 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />		Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />

	Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}</math> auf. <br />		Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2^{-1}</math> auf. <br />

	<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}</math>.<br />		<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2^{-1}</math>.<br />

	<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.		<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.

	=Kürzbarkeit=		=Kürzbarkeit=
	==Satz 5==		==Satz 5==

m.g. am 25. November 2017 um 13:55 Uhr

2017-11-25T13:55:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 13:55 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	* <math>y \odot a = e</math>		* <math>y \odot a = e</math>
	lösbar.		lösbar.
			=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition=
			Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen
			# <math>a \odot x = b</math> und
			# <math>y \odot a = b</math>
			lösbar sind.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine Gruppe */

2017-11-25T13:43:10Z

Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine Gruppe

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 13:43 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	===Eindeutigkeitsbeweis===		===Eindeutigkeitsbeweis===
	Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>		Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
	=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine Gruppe=		=Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine Gruppe=
	==Satz 7==		==Satz 7==
	Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen		Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen

m.g. am 25. November 2017 um 13:42 Uhr

2017-11-25T13:42:50Z

@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 ===Eindeutigkeitsbeweis===
 Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>
 <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

m.g.: /* Satz 6 */

2017-11-25T13:23:20Z

Satz 6

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 13:23 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	# <math>y \odot a = b</math>		# <math>y \odot a = b</math>
	jeweils eindeutig lösbar.		jeweils eindeutig lösbar.
			==Beweis von Satz 6==
			Wir führen den Beweis nur für die Gleichung <math>a \odot x= b</math>, für die Gleichung <math>y \odot a = b</math> wird der Beweis analog geführt.<br />
			===Existenzbeweis===
			Wir setzen <math>x=a^{-1}\odot b</math>: <math>a \odot (a^{-1}\odot b) = (a \odot a^{-1}) \odot b = e \odot b = b</math>.
			===Eindeutigkeitsbeweis===
			Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math>

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m.g. am 25. November 2017 um 13:15 Uhr

2017-11-25T13:15:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 13:15 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	==Satz 5==		==Satz 5==
	Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />		Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />

	# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>		# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
	# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>		# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>
			==Beweis von Satz 5==
			Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit <math>a^{-1}</math> multiplizieren.
			=Lösbarkeit der Gleichungen=
			==Satz 6==
			In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> sind die Gleichungen
			# <math>a \odot x= b</math> und
			# <math>y \odot a = b</math>
			jeweils eindeutig lösbar.



	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

m.g. am 25. November 2017 um 13:09 Uhr

2017-11-25T13:09:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 13:09 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.		<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.
			=Kürzbarkeit=
			==Satz 5==
			Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Für alle Elemente <math>a, b, c \in G</math> gilt: <br />

			# <math>a\odot b = a \odot c \Rightarrow b=c</math>
			# <math>b \odot a= c \odot a \Rightarrow b=c</math>

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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Beweis von Satz 4 */

2017-11-25T12:16:48Z

Beweis von Satz 4

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 12:16 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.		In jeder Gruppe <math>[G, \odot]</math> gilt: Jedes Gruppenelement <math>g \in G</math> hat genau ein inverses Element.
	==Beweis von Satz 4==		==Beweis von Satz 4==
	Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}</math> auf. (II) multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}</math>. (III) verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.		Es sei <math>g \in G</math> eine Gruppe mit dem Einslement <math>e</math>. Nach der Definition des Begriffs Gruppe hat <math>g</math> in <math>G</math> ein Inverses <math>g_1^{-1}</math> bezüglich <math>\odot</math>. Wir nehmen an, <math>g</math> hat in <math>G</math> ein weiteres Inverses <math>g_2^{-1}</math>, das natürlich von <math>g_1^{-1}</math> verschieden ist. Nach Satz 1 wissen wir, dass <math>g_1^{-1}</math> und <math>g_2^{-1}</math> von links und von rechts invers zu <math>g</math> bzgl. <math>\odot</math> sind. <br />

			Die triviale Gleichung <math>(I) e=e</math> "pumpen" wir zu <math>(II) g \odot g_1^{-1} = g \odot g_2{-1}</math> auf. <br />

			<math>(II)</math> multiplizieren wir auf beiden Seiten von links mit <math>g_1^{-1}</math> und erhalten <math>(III) g_1^{-1} \odot g \odot g_1^{-1}= g_1^{-1} \odot g \odot g_2{-1}</math>.<br />

			<math>(III)</math> verkürzt sich zu <math>g_1^{-1}=g_2^{-1}</math>, was ein Widerspruch zu unserer Annahme <math>g_1^{-1} \neq g_2^{-1}</math> ist.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (Gleichung) - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Beweis von Satz 7 */ kleine Ergänzung bzgl. x=y=a^{-1}

AndyWeber: /* Existenzbeweis */ Umformung nach x eingefügt

AndyWeber: /* Beweis von Satz 4 */

*m.g.* am 25. November 2017 um 13:55 Uhr

*m.g.*: /* Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine Gruppe */

*m.g.* am 25. November 2017 um 13:42 Uhr

*m.g.*: /* Satz 6 */

*m.g.* am 25. November 2017 um 13:15 Uhr

*m.g.* am 25. November 2017 um 13:09 Uhr