Gruppendefinition (kurz) - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Beweis von Satz 1 */

2019-05-27T11:32:26Z

Beweis von Satz 1

← Nächstältere Version		Version vom 27. Mai 2019, 11:32 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>		<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>
	==Beweis von Satz 1==		==Beweis von Satz 1==
	Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. <br />		Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. Also <math>b\odot a = e</math> ist unsere Voraussetzung.<br />
	Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:		Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
	{\|		{\|

AndyWeber: /* Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise) */

2018-07-09T11:58:43Z

Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2018, 11:58 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:		Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
	# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>		# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
	# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>		# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
	# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math>		# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math>
	# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.		# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.

m.g.: /* Definition 5: Gruppe (verkützte schreibweise) */

2017-11-25T11:43:32Z

Definition 5: Gruppe (verkützte schreibweise)

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 11:43 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	=Verkürzte Gruppendefinition=		=Verkürzte Gruppendefinition=
	Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:		Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:
	==Definition 5: Gruppe (~~verkützte schreibweise~~)==		==Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise)==
	Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:		Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
	# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>		# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>

m.g. am 25. November 2017 um 11:43 Uhr

2017-11-25T11:43:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 11:43 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	Aus <math>(II)</math> folgt:<br />		Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
	<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.		<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
			=Verkürzte Gruppendefinition=
			Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben:
			==Definition 5: Gruppe (verkützte schreibweise)==
			Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
			# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
			# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>
			# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a</math>
			# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n</math>.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Beweis von Satz 2 */

2017-11-25T11:13:09Z

Beweis von Satz 2

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 11:13 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	==Beweis von Satz 2==		==Beweis von Satz 2==
	Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />		Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
	Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.		Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.<br />
			Wir gehen von <math>(I) e \otimes g = g</math>.<br />
			In Gleichung <math>(I)</math> multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit <math>g^{-1}\otimes g</math> und erhalten <math>(II)</math>.<br />
			<math>(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)</math>.<br />
			Aus <math>(II)</math> folgt:<br />
			<math>(III) e \otimes g = g \otimes e</math> q,e.d.
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Satz 2 */

2017-11-25T11:03:11Z

Satz 2

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 11:03 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	=Linkseins gleich Rechtseins=		=Linkseins gleich Rechtseins=
	==Satz 2==		==Satz 2==
	Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. <math>\forall a \in G: a \otimes ~~a_1^{-1}~~ = ~~e \land a~~ \otimes ~~a_2^{-1} =~~ e ~~\Rightarrow a_2^{-1}~~= ~~a_1^{-1}~~</math>		Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. Wenn <math>e \in G</math> von links multipliziert Einselement von <math>[G, \otimes]</math> ist, dann ist <math>e</math> auch von rechts multipliziert Einselement von <math>G</math>.
			==Beweis von Satz 2==
			Es sei <math>[G, \otimes]</math> Gruppe. Es gelte ferner für das Element <math>e \in G</math> die folgende Eigenschaft: <math>\forall g \in G: e \otimes g = g</math>.<br />
			Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch <math>g \otimes e = g</math> für alle <math>g</math> aus <math>G</math> gilt.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Linkseins = Rechtseins */

2017-11-25T10:56:06Z

Linkseins = Rechtseins

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 10:56 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.		Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.

	=Linkseins = Rechtseins=		=Linkseins gleich Rechtseins=
	==Satz 2==		==Satz 2==
	Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. <math>\forall a \in G: a \otimes a_1^{-1} = e \land a \otimes a_2^{-1} = e \Rightarrow a_2^{-1}= a_1^{-1}</math>		Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. <math>\forall a \in G: a \otimes a_1^{-1} = e \land a \otimes a_2^{-1} = e \Rightarrow a_2^{-1}= a_1^{-1}</math>

m.g.: /* Satz 2 */

2017-11-25T10:55:38Z

Satz 2

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2017, 10:55 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.		Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.

			=Linkseins = Rechtseins=
	==Satz 2==		==Satz 2==
	Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. <math>\forall a \in G: a \otimes a_1^{-1} = e \land a \otimes a_2^{-1} = e \Rightarrow a_2^{-1}= a_1^{-1}</math>		Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. <math>\forall a \in G: a \otimes a_1^{-1} = e \land a \otimes a_2^{-1} = e \Rightarrow a_2^{-1}= a_1^{-1}</math>

m.g. am 13. November 2017 um 10:46 Uhr

2017-11-13T10:46:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. November 2017, 10:46 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	\|}		\|}
	Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.		Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.

			==Satz 2==
			Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe. <math>\forall a \in G: a \otimes a_1^{-1} = e \land a \otimes a_2^{-1} = e \Rightarrow a_2^{-1}= a_1^{-1}</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 5. November 2017 um 16:52 Uhr

2017-11-05T16:52:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 16:52 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\|width=90%\| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"		{\|width=90%\| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
	\| valign="top" \|		\| valign="top" \|
			=Linksinvers gleich Rechtsinvers=
			==Satz 1==
			Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe.<br />
			<math>\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c</math>
			==Beweis von Satz 1==
			Es sei <math>b</math> das Linksinverse bzgl. <math>\odot</math> von <math>a</math>. <br />
			Wir multiplizieren <math>b</math> von rechts mit <math>a</math>:
			{\|
			\|-
			\| (I)\|\| <math>a \odot b = e \odot a \odot b </math>\|\| (Wir haben <math>a</math> mit <math>b</math> von rechts multipliziert
			\|-
			\| (II) \|\| <math>a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b </math> \|\|(Auch <math>b</math> hat ein Linksinverses <math>b^{-1}</math>
			\|-
			\|(III) \|\| <math>a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b </math> \|\| (Assoziativität)
			\|-
			\|(IV) \|\| <math>a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b </math> \|\| (<math>b</math> ist das Linksinverse von <math>a</math>)
			\|-
			\| (V) \|\| <math>a \odot b = b^{-1} \odot b </math> \|\| (Eigenschaften des Einselements)
			\|-
			\| (VI) \|\| <math>a \odot b = e </math> \|\| (<math>b^{-1}</math> ist das Linksinverse von <math>b</math>
			\|}
			Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von <math>a</math> auch Rechtsinverses von <math>a</math> ist.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (kurz) - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Beweis von Satz 1 */

AndyWeber: /* Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise) */

*m.g.*: /* Definition 5: Gruppe (verkützte schreibweise) */

*m.g.* am 25. November 2017 um 11:43 Uhr

*m.g.*: /* Beweis von Satz 2 */

*m.g.*: /* Satz 2 */

*m.g.*: /* Linkseins = Rechtseins */

*m.g.*: /* Satz 2 */

*m.g.* am 13. November 2017 um 10:46 Uhr

*m.g.* am 5. November 2017 um 16:52 Uhr

m.g.: /* Definition 5: Gruppe (verkützte schreibweise) */

m.g. am 25. November 2017 um 11:43 Uhr

m.g.: /* Beweis von Satz 2 */

m.g.: /* Satz 2 */

m.g.: /* Linkseins = Rechtseins */

m.g.: /* Satz 2 */

m.g. am 13. November 2017 um 10:46 Uhr

m.g. am 5. November 2017 um 16:52 Uhr