Gruppendefinition (lang) - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Definition 4: (Gruppe, Langfassung) /

2018-07-09T11:27:07Z

Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2018, 11:27 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:		Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
	# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>		# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
	# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>		# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)</math>
	# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>		# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>
	# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.		# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.

AndyWeber: /* Additiv geschriebene Gruppen */

2018-07-09T11:20:07Z

Additiv geschriebene Gruppen

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2018, 11:20 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	=Bemerkungen=		=Bemerkungen=
	==Additiv geschriebene Gruppen==		==Additiv geschriebene Gruppen==
	Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt ~~die~~ die Inversen als <math>-a</math>.<br />		Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die Inversen als <math>-a</math>.<br />
	Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.		Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.

	==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==		==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==
	Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:		Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:

AndyWeber: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

2018-07-09T10:51:10Z

Definition 2: (Halbgruppe)

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2018, 10:51 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	D.h. es gilt:		D.h. es gilt:
	#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>		#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
	#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.		#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c \in H: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)</math>.

	==Definition 3: (Monoid)==		==Definition 3: (Monoid)==
	Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />		Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />

m.g.: /* Definition 4: (Gruppe, Langfassung) /

2017-11-05T16:21:02Z

Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 16:21 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:		Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
	# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>		# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
	# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>.		# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>
			# Es gibt in <math>G</math> bzgl. <math>\oplus</math> ein neutrales Element <math>n</math>: <math>\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = n \oplus a = a</math>
			# Jedes Element aus <math>G</math> hat in <math>G</math> ein inverses Element bzgl. <math>\oplus</math>: <math>\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a=-a \oplus a= n</math>.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 5. November 2017 um 16:16 Uhr

2017-11-05T16:16:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 16:16 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:		Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
	*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>		*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
			==Definition 5: (Abelsche Gruppe)==
			Wenn in einer Gruppe <math>[G,\odot]</math> für alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> <math>a \odot b=b\odot a</math> gilt, dann heißt <math>[G,\odot]</math> kommutative oder abelsche Gruppe.
	=Bemerkungen=		=Bemerkungen=
			==Additiv geschriebene Gruppen==
			Unsere bisherigen Definitionen waren in gewisser Weise "multiplikativ" geschrieben. Bezieht man sich auf eine Struktur mit einer Operation, die eher "additiv" zu verstehen ist, spricht man häufig vom neutralen Element <math>n</math> und schreibt die die Inversen als <math>-a</math>.<br />
			Wir geben im Folgenden die Langfassung einer Gruppendefinition, die additiv geschrieben ist und sich nicht auf bereits definierte Strukturen stützt.
			==Definition 4*: (Gruppe, Langfassung)==
			Eine nichtleere Menge <math>G</math> zusammen mit einer Verknüpfung <math>\oplus</math> heißt Gruppe, wenn gilt:
			# <math>\oplus</math> ist abgeschlossen auf <math>G</math>: <math>\forall a, b \in G: a \oplus b \in G</math>
			# <math>\oplus</math> ist assoziativ auf <math>G</math>: <math>\forall a, b, c: (a \oplus b) \oplus a = a \oplus (b \oplus c)</math>.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 5. November 2017 um 16:00 Uhr

2017-11-05T16:00:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 16:00 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\|width=90%\| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"		{\|width=90%\| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
	\| valign="top" \|		\| valign="top" \|
	=Definition 1: (Algebraische Struktur)=
			=Definitionen=
			==Definition 1: (Algebraische Struktur)==
	Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />		Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />

Zeile 8:		Zeile 10:
	<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>		<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>

	=Definition 2: (Halbgruppe)=		==Definition 2: (Halbgruppe)==
	Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn		Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn
	<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />		<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />
Zeile 14:		Zeile 16:
	#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>		#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
	#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.		#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.
	=Definition 3: (Monoid)=		==Definition 3: (Monoid)==
	Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />		Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
	*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>		*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
	=Definition 4: (Gruppe)=		==Definition 4: (Gruppe)==
	Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:		Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
	*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>		*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
			=Bemerkungen=
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 5. November 2017 um 15:55 Uhr

2017-11-05T15:55:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 15:55 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />		Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
	*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>		*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
			=Definition 4: (Gruppe)=
			Ein Monoid <math>[G, \odot]</math> heißt Gruppe, wenn jedes Element von <math> G </math> in <math> G </math> ein inverses Element bzgl. <math>\odot</math> hat:
			*(inverse Elemente) <math>\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1}= a^{-1} \odot a = e</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

2017-11-05T15:48:35Z

Definition 2: (Halbgruppe)

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 15:48 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>		#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
	#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.		#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.
			=Definition 3: (Monoid)=
			Eine Halbgruppe <math>[M, \odot]</math> heißt Monoid, wenn sie ein Einselement hat:<br />
			*(Einselement) <math>\exists e \in M \forall a \in M: e \odot a = a \odot e = a</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

2017-11-05T15:44:10Z

Definition 2: (Halbgruppe)

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 15:44 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	=Definition 2: (Halbgruppe)=		=Definition 2: (Halbgruppe)=
	Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn		Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn
	<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist<br />		<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist.<br />
	~~Dabei bedeutet~~:		D.h. es gilt:
	#Abgeschlossenheit: <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>		#(Abgeschlossenheit) <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
	#Assoziativität: <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.		#(Assoziativität) <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g. am 5. November 2017 um 15:42 Uhr

2017-11-05T15:42:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 15:42 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\|width=90%\| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"		{\|width=90%\| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
	\| valign="top" \|		\| valign="top" \|
	=Definition: (Algebraische Struktur)=		=Definition 1: (Algebraische Struktur)=
	Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />		Eine Menge <math>S</math> zusammen mit einer Operation <math>o</math> oder Relation <math>r</math> auf dieser Menge nennt man algebraische Struktur. <br />

Zeile 8:		Zeile 8:
	<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>		<math>[S, o]</math> bzw <math>[S, r]</math>

			=Definition 2: (Halbgruppe)=
			Eine algebraische Struktur <math>[H, \odot]</math> heißt Halbgruppe, wenn
			<math>\odot</math> auf <math>H</math> abgeschlossen und assoziativ ist<br />
			Dabei bedeutet:
			#Abgeschlossenheit: <math>\forall a,b \in H: a \odot b \in H</math>
			#Assoziativität: <math>\forall a, b, c: (a \odot b) \odot a = a \odot (b \odot c)</math>.
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

Gruppendefinition (lang) - Versionsgeschichte

AndyWeber: /* Definition 4*: (Gruppe, Langfassung) */

AndyWeber: /* Additiv geschriebene Gruppen */

AndyWeber: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

*m.g.*: /* Definition 4*: (Gruppe, Langfassung) */

*m.g.* am 5. November 2017 um 16:16 Uhr

*m.g.* am 5. November 2017 um 16:00 Uhr

*m.g.* am 5. November 2017 um 15:55 Uhr

*m.g.*: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

*m.g.*: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

*m.g.* am 5. November 2017 um 15:42 Uhr

AndyWeber: /* Definition 4: (Gruppe, Langfassung) /

m.g.: /* Definition 4: (Gruppe, Langfassung) /

m.g. am 5. November 2017 um 16:16 Uhr

m.g. am 5. November 2017 um 16:00 Uhr

m.g. am 5. November 2017 um 15:55 Uhr

m.g.: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

m.g.: /* Definition 2: (Halbgruppe) */

m.g. am 5. November 2017 um 15:42 Uhr