Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements - Versionsgeschichte

AndyWeber: Ordnung eines Gruppenelements hinzugefügt

2018-07-13T17:11:42Z

Ordnung eines Gruppenelements hinzugefügt

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juli 2018, 17:11 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	\| valign="top" \|		\| valign="top" \|
	=Die Ordnung einer Gruppe=		=Die Ordnung einer Gruppe=
	==Definition (Gruppenordnung==		==Definition (Gruppenordnung)==
	Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>\|G\|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>.		Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>\|G\|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>.
	==Beispiele==		==Beispiele==
Zeile 34:		Zeile 34:
	#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math>		#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math>
	#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math>		#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math>

			=Die Ordnung eines Gruppenelements=
			==Definition (Ordnung eines Gruppenelements)==
			Es sei <math>[G,\odot ]</math> eine Gruppe.

			Die Ordnung eines Elements <math>g\isin G</math> ist die kleinste natürliche Zahl <math>n</math> für die gilt:

			<math>g^{n}=e</math>

	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

AndyWeber: /* Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0 */

2018-07-13T14:24:22Z

Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juli 2018, 14:24 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:		Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:
	# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math>		# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math>
	# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z~~\geq~~ 0</math>		# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0</math>

	==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>==		==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>==
	Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>.		Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>.

m.g.: /* Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

2017-11-28T10:28:12Z

Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus]

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2017, 10:28 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====		====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
	*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />		*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />
	*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>		*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>

	==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==		==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==
	Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:		Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:

m.g.: /* Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0 */

2017-11-27T16:38:06Z

Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2017, 16:38 Uhr
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	==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==		==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==
	Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:		Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:
	# <math>g^z=n ~falls~ z=0</math>		# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math>
	# <math>g^z=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z\geq 0</math>		# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z\geq 0</math>
			==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>==
			Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>.
			#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math>
			#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen */

2017-11-27T16:29:35Z

Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2017, 16:29 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />		*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />
	*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>		*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>
			==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>==
			Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir:
			# <math>g^z=n ~falls~ z=0</math>
			# <math>g^z=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z\geq 0</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

2017-11-26T17:23:14Z

Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus]

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 17:23 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	===Beispiele===		===Beispiele===
	====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====		====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
	<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math>		*<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br />
			*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

2017-11-26T17:19:18Z

[\mathbb{Z}_5 , \oplus]

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 17:19 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==		==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==
	===Beispiele===		===Beispiele===
	====<math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====		====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
	<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math>		<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

m.g.: /* [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

2017-11-26T17:18:46Z

[\mathbb{Z}_5 , \oplus]

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 17:18 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	===Beispiele===		===Beispiele===
	====<math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====		====<math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
			<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math>
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Beispiele */

2017-11-26T17:16:17Z

Beispiele

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 17:16 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==		==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==
	===Beispiele===		===Beispiele===
			====<math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>====
	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
	\|}		\|}
	</div>		</div>
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]

m.g.: /* Potenzschreibweisen in Gruppen */

2017-11-26T17:14:47Z

Potenzschreibweisen in Gruppen

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2017, 17:14 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	* <math>[\mathbb{Q}, +] : \|\mathbb{Q}\|= \infty</math>		* <math>[\mathbb{Q}, +] : \|\mathbb{Q}\|= \infty</math>
	=Potenzschreibweisen in Gruppen=		=Potenzschreibweisen in Gruppen=
			== Aus der Schule bekannt==
	Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:		Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt:
	*<math>3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243</math><br />		*<math>3 ^5 := 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243</math><br />
Zeile 18:		Zeile 19:

	*<math>a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math><br />		*<math>a^{-n}:=\underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdot \ldots \cdot a^{-1}}_{n-mal}= \frac{1}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-mal}}, a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}</math><br />
			==Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen==
			===Beispiele===

	<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->

Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements - Versionsgeschichte

AndyWeber: Ordnung eines Gruppenelements hinzugefügt

AndyWeber: /* Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0 */

*m.g.*: /* Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

*m.g.*: /* Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0 */

*m.g.*: /* Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen */

*m.g.*: /* Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

*m.g.*: /* [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

*m.g.*: /* [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

*m.g.*: /* Beispiele */

*m.g.*: /* Potenzschreibweisen in Gruppen */

m.g.: /* Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

m.g.: /* Definition Potenz g^z eines Gruppenelements für z \in \mathbb{Z}, z \geq 0 */

m.g.: /* Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen */

m.g.: /* Beispiel 1: [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

m.g.: /* [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

m.g.: /* [\mathbb{Z}_5 , \oplus] */

m.g.: /* Beispiele */

m.g.: /* Potenzschreibweisen in Gruppen */