Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11) - Versionsgeschichte

Gillian shaw: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T06:06:51Z

Definition IV.3: Halbraum

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2011, 06:06 Uhr
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	muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)		muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)
			Du hast recht, das eine war ein tippfehler und das andere unnötig.--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 08:06, 26. Jul. 2011 (CEST)

	== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==		== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==

Gillian shaw: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T05:50:26Z

Definition IV.3: Halbraum

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	::Ergänzen Sie selbst.		::Ergänzen Sie selbst.

	:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap E=\lbrace \rbrace ~~\wedge P\in R~~ \} \cup \{E \}</math>		:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap E=\lbrace \rbrace \} \cup \{E \}</math>


	:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap E\neq \lbrace \rbrace ~~\wedge P\in R~~ \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)		:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap E\neq \lbrace \rbrace \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

	muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)		muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)

Gillian shaw: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T05:46:13Z

Definition IV.3: Halbraum

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	::Ergänzen Sie selbst.		::Ergänzen Sie selbst.

	:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \}</math>		:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap E=\lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \}</math>


	:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)		:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap E\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

	muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)		muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)

Verteidigungswolf: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T05:39:21Z

Definition IV.3: Halbraum

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	:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)		:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

			muss es nicht heißen PQ geschnitten mit E? Muss man P Element R dazu schreiben, weil de Raum ist ja die Menge aller Punkte?!--[[Benutzer:Verteidigungswolf\|Verteidigungswolf]] 07:39, 26. Jul. 2011 (CEST)

	== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==		== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==

Gillian shaw: /* Beweis von Satz IV.2 */

2011-07-26T03:03:37Z

Beweis von Satz IV.2

@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 ===== Beweis von Satz IV.2 =====
 trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
 ===== Satz IV.3 =====

Gillian shaw: /* Beweis von Satz IV.2 */

2011-07-26T03:01:49Z

Beweis von Satz IV.2

@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 ===== Beweis von Satz IV.2 =====
 trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
 ===== Satz IV.3 =====
 ::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Gillian shaw: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T02:43:41Z

Definition IV.3: Halbraum

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2011, 02:43 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	::Ergänzen Sie selbst.		::Ergänzen Sie selbst.

	:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \}</math>		:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \}</math>


	:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)		:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

	== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==		== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==

Gillian shaw: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T02:41:12Z

Definition IV.3: Halbraum

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2011, 02:41 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	::Ergänzen Sie selbst.		::Ergänzen Sie selbst.

	<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \}</math>		:::::::<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \}</math>


	<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)		:::::::<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

	== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==		== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==

Gillian shaw: /* Definition IV.3: Halbraum */

2011-07-26T02:40:31Z

Definition IV.3: Halbraum

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2011, 02:40 Uhr
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	Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:<br />		Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:<br />
	::Ergänzen Sie selbst.		::Ergänzen Sie selbst.

			<math>\ EQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \}</math>


			<math>\ EQ^{-}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge E\in R \} \cup \{E \} </math>--[[Benutzer:Gillian shaw\|Gillian shaw]] 04:40, 26. Jul. 2011 (CEST)

	== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==		== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==

Katrin: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

2011-07-23T07:11:01Z

Definition IV.1: (offene Halbebene)

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	:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :		:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

	::::<math>\ gQ^{+}:= \{P\| ~~...~~ \~~operatorname~~{~~ergaenzen Sie selbst ...~~} \}</math>		::::<math>\ gQ^{+}:= \{P\|\overline{PQ} \cap g=\lbrace \rbrace \wedge P\in E \}</math>


	::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\| ~~...~~ \~~operatorname~~{~~ergaenzen Sie selbst ...~~} \}</math>		::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|\|\overline{PQ} \cap g\neq \lbrace \rbrace \wedge P\in E \}</math>
			--[[Benutzer:Katrin\|Katrin]] 09:11, 23. Jul. 2011 (CEST)

	==== Halbebenen ====		==== Halbebenen ====