Halbebenen oder das Axiom von Pasch (WS10/11) - Versionsgeschichte

Rakorium: /* Analogiebetrachtungen */

2010-12-06T21:43:35Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 6. Dezember 2010, 21:43 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	\| <math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder		\| <math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder
	<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder		<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder

	<math>\ gQ^{-}:= \{P\| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)		<math>\ gQ^{-}:= \{P\| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

Rakorium: /* Analogiebetrachtungen */

2010-12-06T21:25:01Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 6. Dezember 2010, 21:25 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:

	\|-		\|-
	\| <math>\ G</math>		\| <math>\ G</math> ist eine Gerade --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
	\| <math>\ G</math>		\| <math>\ G</math> ist eine Ebene --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

	\|-		\|-
Zeile 24:		Zeile 24:

	\|-		\|-
	\| ?		\| eindimensional --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
	\| ?		\| zweidimensional --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

	\|-		\|-
Zeile 31:		Zeile 31:

	\|-		\|-
	\| ?		\| Punkt A --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
	\| ?		\| Gerade g --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

	\|-		\|-
Zeile 38:		Zeile 38:

	\|-		\|-
	\| ?		\| nulldimensional --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
	\| ?		\| eindimensional --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

	\|-		\|-
Zeile 50:		Zeile 50:

	\|-		\|-
	\| ?		\| <math>\ AQ^{+} := \overline {AQ}/ \{A \} \cup \{P\| \operatorname{Zw}(A,Q,P) \} </math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
	\| ?		\| <math>\ gQ^{+}:= \{P\| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder
			<math>\ gQ^{+}:= \{P\| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)


	\|-		\|-
Zeile 59:		Zeile 61:

	\|-		\|-
	\| ?		\| <math>AB^-:=\left \{ P\|Zw(P,A,B)\right \}</math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
	\| ?		\| <math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder
			<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder
			<math>\ gQ^{-}:= \{P\| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)


	\|}		\|}

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

2010-12-03T17:18:44Z

Definition IV.2: (Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2010, 17:18 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:

	1) Jede der Mengen ist konvex<br />		1) Jede der Mengen ist konvex<br />
	2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen ~~der~~ Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E.<br /> --[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)		2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen dieser beiden Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E.<br /> --[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)

	== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==		== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

2010-12-03T17:17:25Z

Definition IV.2: (Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2010, 17:17 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:

	1) Jede der Mengen ist konvex<br />		1) Jede der Mengen ist konvex<br />
	2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E ~~nicht~~.<br /> --[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)		2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E.<br /> --[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)

	== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==		== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

2010-12-03T17:16:14Z

Definition IV.2: (Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2010, 17:16 Uhr
Zeile 100:		Zeile 100:
	Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />		Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />

	Definition: Halbraum<br />		<u>Definition: Halbraum</u> <br />

	Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des ~~Raums~~, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:<br />		Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:<br />

	1) Jede der Mengen ist konvex<br />		1) Jede der Mengen ist konvex<br />
	2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E nicht.<br />		2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E nicht.<br /> --[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)

	== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==		== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

2010-12-03T17:14:31Z

Definition IV.2: (Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 3. Dezember 2010, 17:14 Uhr
Zeile 98:		Zeile 98:


	Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.		Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.<br />

			Definition: Halbraum<br />

			Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raums, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:<br />

			1) Jede der Mengen ist konvex<br />
			2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen der Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E nicht.<br />

	== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==		== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==

m.g.: /* Beweis von Satz IV.3 */

2010-11-29T21:42:14Z

Beweis von Satz IV.3

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2010, 21:42 Uhr
Zeile 134:		Zeile 134:
	zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.		zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

	~~[[Lösung von Aufgabe 7.5]]~~


	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

m.g. am 28. November 2010 um 19:44 Uhr

2010-11-28T19:44:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2010, 19:44 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:

	[[Lösung von Aufgabe 7.5]]		[[Lösung von Aufgabe 7.5]]


			[[Category:Einführung_Geometrie]]

m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: = Halbebenen und das Axiom von Pasch = == Halbebenen == === Analogiebetrachtungen === {| class="wikitable center" | style="background: #DDFFDD;"| '''Halbgera...

2010-11-28T17:52:45Z

Die Seite wurde neu angelegt: = Halbebenen und das Axiom von Pasch = == Halbebenen == === Analogiebetrachtungen === {| class="wikitable center" | style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgera...

Neue Seite

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

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|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math>
| <math>\ G</math>

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| ?
| ?

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| ?
| ?

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| ?
| ?

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center> <math>\ T</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math> in genau zwei Klassen. Der Referenzpunkt <math>\ Q</math> hilft, diese Klassen anzugeben:</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center> Menge aller Punkte von <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ T </math> liegen </center>

|-
| ?
| ?

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center> Menge aller Punkte von <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math>, die bezüglich <math>\ Q</math> auf auf verschiedenen Seiten von <math>\ T</math> liegen </center>

|-
| ?
| ?

|}

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
<br />'''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>

Üben Sie sich hier:

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert.<br />[http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Lösung von Aufgabe 7.5]]

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	\| <math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder		\| <math>\ gQ^{-}:= \{P\| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder
	<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder		<math>\ gQ^{-}:= \{P\| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder

	<math>\ gQ^{-}:= \{P\| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)		<math>\ gQ^{-}:= \{P\| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium\|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (WS10/11) - Versionsgeschichte

Rakorium: /* Analogiebetrachtungen */

Rakorium: /* Analogiebetrachtungen */

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

Engel82: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

*m.g.*: /* Beweis von Satz IV.3 */

*m.g.* am 28. November 2010 um 19:44 Uhr

*m.g.*: Die Seite wurde neu angelegt: = Halbebenen und das Axiom von Pasch = == Halbebenen == === Analogiebetrachtungen === {| class="wikitable center" | style="background: #DDFFDD;"| '''Halbgera...

m.g.: /* Beweis von Satz IV.3 */

m.g. am 28. November 2010 um 19:44 Uhr

m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: = Halbebenen und das Axiom von Pasch = == Halbebenen == === Analogiebetrachtungen === {| class="wikitable center" | style="background: #DDFFDD;"| '''Halbgera...