Halbebenen und das Axiom von Pasch SS 2012 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Analogiebetrachtungen */

2012-06-07T13:22:00Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2012, 13:22 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{+}</math>) .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{+}</math>) .
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{-}</math>) .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{-}</math>) .
	--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST)		--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST)<br />
			sehr gut, genau dasselbe, nur eine Dimension höher --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 15:22, 7. Jun. 2012 (CEST)

	=== Definition des Begriffs der Halbebene ===		=== Definition des Begriffs der Halbebene ===

m.g.: /* Halbebenen */

2012-06-07T13:18:40Z

Halbebenen

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2012, 13:18 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:

	==== Halbebenen ====		==== Halbebenen ====
	Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen ~~Halbeben~~ mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.		Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbebene mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

	===== Definition IV.2: (Halbebene) =====		===== Definition IV.2: (Halbebene) =====

m.g.: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

2012-06-07T13:18:05Z

Definition IV.1: (offene Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2012, 13:18 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math>		::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math>
	::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass die Strecke <math> \overline{PQ}</math> den Trenner<math>\ g</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.")		::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass die Strecke <math> \overline{PQ}</math> den Trenner<math>\ g</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.")
	--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST)		--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST) perfekt! --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 15:18, 7. Jun. 2012 (CEST)

	==== Halbebenen ====		==== Halbebenen ====

Snooth: /* Analogiebetrachtungen */

2012-06-05T21:53:00Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2012, 21:53 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{+}</math>) .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{+}</math>) .
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{-}</math>) .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{-}</math>) .
			--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST)

	Ebenenteilung:		Ebenenteilung:
Zeile 46:		Zeile 47:
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{+}</math>) .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{+}</math>) .
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{-}</math>) .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{-}</math>) .
			--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:52, 5. Jun. 2012 (CEST)

	=== Definition des Begriffs der Halbebene ===		=== Definition des Begriffs der Halbebene ===

Snooth: /* Analogiebetrachtungen */

2012-06-05T21:51:15Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2012, 21:51 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:

	:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:		:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ~~...~~ .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{+}</math>) .
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ~~...~~ .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>T</math> liegen (<math>\ TQ^{-}</math>) .

	Ebenenteilung:		Ebenenteilung:
	:Es seien <math>\ E</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ E</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ E</math>. Die Menge <math>\ E \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:		:Es seien <math>\ E</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ E</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ E</math>. Die Menge <math>\ E \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ~~...~~ .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{+}</math>) .
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben .~~.. .--~~		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben Seite bezüglich <math>t</math> liegen (<math>\ tQ^{-}</math>) .

	=== Definition des Begriffs der Halbebene ===		=== Definition des Begriffs der Halbebene ===

Snooth: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

2012-06-05T21:37:09Z

Definition IV.1: (offene Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2012, 21:37 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:

	::::<math>\ gQ^{+}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}=\emptyset\}</math>		::::<math>\ gQ^{+}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}=\emptyset\}</math>
	::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass ~~der Trenner~~<math>\ g</math> ~~die Strecke~~ <math> \~~overline{PQ}~~</math> nicht schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{+}</math>.")		::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass die Strecke <math> \overline{PQ}</math> den Trenner<math>\ g</math> nicht schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{+}</math>.")


	::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math>		::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math>
	::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass ~~der Trenner~~<math>\ g</math> ~~die Strecke~~ <math> \~~overline{PQ}~~</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.")		::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass die Strecke <math> \overline{PQ}</math> den Trenner<math>\ g</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.")
	--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST)		--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST)

Snooth: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

2012-06-05T21:33:38Z

Definition IV.1: (offene Halbebene)

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2012, 21:33 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:

	===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====		===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
	:::Es sei <math>\ E</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ E</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ E</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :		:::Es sei <math>\ E</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ E</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört.<br /> Unter den <u>offenen</u> Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ E</math> <u>ohne</u> die Gerade <math>\ g</math> :

	::::<math>\ gQ^{+}:= \{P\|~~...~~\}</math>		::::<math>\ gQ^{+}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}=\emptyset\}</math>
			::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass der Trenner<math>\ g</math> die Strecke <math> \overline{PQ}</math> nicht schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{+}</math>.")


	::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|~~...~~\}</math>		::::<math>\ gQ^{-}:= \{P\|g\cap\overline{PQ}\neq\emptyset\}</math>
			::: ("Jene Punkte P, für die gilt, dass der Trenner<math>\ g</math> die Strecke <math> \overline{PQ}</math> schneidet, bilden die offene Halbebene<math>\ gQ^{-}</math>.")
			--[[Benutzer:Snooth\|Snooth]] 23:33, 5. Jun. 2012 (CEST)

	==== Halbebenen ====		==== Halbebenen ====

m.g.: /* Analogiebetrachtungen */

2012-06-05T17:11:58Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2012, 17:11 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:

	Wir konstatieren:		Wir konstatieren:
	::Eine Gerade wird durch einen ~~...~~ in zwei ~~...~~ eingeteilt.<br />		::Eine Gerade wird durch einen Punkt in zwei Halbgeraden eingeteilt.<br />
	::Eine Ebene wird durch eine ~~...~~ in zwei ~~...~~ eingeteilt.		::Eine Ebene wird durch eine Gerade in zwei Halbebenen eingeteilt.

	::Eine Gerade ist ein ~~...dimensionales~~ Objekt.<br />		::Eine Gerade ist ein eindimensionales Objekt.<br />
	::Eine Ebene ist ein ~~...dimensionales~~ Objekt.		::Eine Ebene ist ein zweidimensionales Objekt.

	::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein ~~...dimensionales~~ geometrisches Objekt.<br />		::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein nulldimensionales geometrisches Objekt.<br />
	::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein ~~...dimensionales~~ geometrisches Objekt.		::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein eindimensionales geometrisches Objekt.

	::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ~~...~~ .		::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension n-1 .

	Geradenteilung:		Geradenteilung:

m.g.: /* Analogiebetrachtungen */

2012-06-03T16:13:26Z

Analogiebetrachtungen

← Nächstältere Version		Version vom 3. Juni 2012, 16:13 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:

	Ebenenteilung:		Ebenenteilung:
	:Es seien <math>\ ~~\epsilon~~</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ ~~\epsilon~~</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ ~~\epsilon~~</math>. Die Menge <math>\ ~~\epsilon~~ \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:		:Es seien <math>\ E</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ E</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ E</math>. Die Menge <math>\ E \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ ~~\epsilon~~ \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
	::# Die Menge aller Punkte von <math>\ ~~\epsilon~~ \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .--		::# Die Menge aller Punkte von <math>\ E \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .--

	=== Definition des Begriffs der Halbebene ===		=== Definition des Begriffs der Halbebene ===

m.g. am 3. Juni 2012 um 16:11 Uhr

2012-06-03T16:11:02Z

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 = Halbebenen und das Axiom von Pasch =
 == Halbebenen ==
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Halbebenen und das Axiom von Pasch SS 2012 - Versionsgeschichte

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Snooth: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

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