Inzidenz im Raum (SoSe 11) - Versionsgeschichte

...s...: /* Satz I.7: */

2011-07-25T08:57:18Z

Satz I.7:

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2011, 08:57 Uhr
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	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

	~~Hat jemand eine Idee, wie man diesen Satz beweisen könnte~~?		Ist dieser Beweis so richtig?
	~~Ich habe so angefangen, komme aber nicht mehr weiter…~~

	Ann: Es gibt Ebenen, die weniger als 3 Punkte enthalten		Ann: Es gibt Ebenen, die weniger als 3 Punkte enthalten

	Fall 1: Ebene mit keinem Punkt ~~(Widerspruch Axiom I.4)~~		<u>Fall 1</u>: Ebene mit keinem Punkt

	~~Fall 2: Ebene mit nur 1 Punkt~~		→ Widerspruch Axiom I.4

	Fall 3: Ebene mit nur 2 Punkten --[[Benutzer:...s...\|...s...]] 10:04, 25. Jul. 2011 (CEST)		<u>Fall 2</u>: Ebene mit nur 1 Punkt A

			1. Ǝ B, C. nkoll (A,B,C) (Axiom I.3)

			2. Ǝ E. A,B,C ϵ E (1., Axiom I.4)

			→ Widerspruch zur Annahme

			<u>Fall 3</u>: Ebene mit nur 2 Punkten

			1. Ǝ C. nkoll (A,B,C) (Axiom I.3)

			2. Ǝ E. A,B,C ϵ E (1., Axiom I.4)

			→ Widerspruch zur Annahme

			q.e.d. --[[Benutzer:...s...\|...s...]] 10:57, 25. Jul. 2011 (CEST)

...s...: /* Satz I.7: */

2011-07-25T08:04:52Z

Satz I.7:

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2011, 08:04 Uhr
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	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

			Hat jemand eine Idee, wie man diesen Satz beweisen könnte?
			Ich habe so angefangen, komme aber nicht mehr weiter…

			Ann: Es gibt Ebenen, die weniger als 3 Punkte enthalten

			Fall 1: Ebene mit keinem Punkt (Widerspruch Axiom I.4)

			Fall 2: Ebene mit nur 1 Punkt

			Fall 3: Ebene mit nur 2 Punkten --[[Benutzer:...s...\|...s...]] 10:04, 25. Jul. 2011 (CEST)

Tutorin Anne: /* Axiom I/4 */

2011-06-18T08:58:40Z

Axiom I/4

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2011, 08:58 Uhr
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	an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana\|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)<br />		an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana\|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)<br />
	~~Offensichtlich fehlt Axiom I~~.~~2 und I~~.3. ~~Ich habe diese leider nicht da~~, ~~kannst du sie nicht selber eintragen? Danke!~~--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 10:56, 18. Jun. 2011 (CEST)		Unter: http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Eigentlich_ganz_einfach_und_doch_kompliziert:_Punkte,_Geraden_SoSe_11<br />--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 10:58, 18. Jun. 2011 (CEST)

	=====Axiom I/5=====		=====Axiom I/5=====

Tutorin Anne: /* Axiom I/4 */

2011-06-18T08:56:04Z

Axiom I/4

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2011, 08:56 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:


	an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana\|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)		an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana\|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)<br />
			Offensichtlich fehlt Axiom I.2 und I.3. Ich habe diese leider nicht da, kannst du sie nicht selber eintragen? Danke!--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 10:56, 18. Jun. 2011 (CEST)

	=====Axiom I/5=====		=====Axiom I/5=====

Liviana: /* Satz I.5: */

2011-06-17T16:55:34Z

Satz I.5:

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juni 2011, 16:55 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	=====Satz I.5:=====		=====Satz I.5:=====
	::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.		::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

			wo ist satz I.4????--[[Benutzer:Liviana\|liviana]] 18:55, 17. Jun. 2011 (CEST)

	=====Satz I.6:=====		=====Satz I.6:=====

Liviana: /* Axiom I/4 */

2011-06-17T16:39:41Z

Axiom I/4

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juni 2011, 16:39 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:

	::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.		::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.


			an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --[[Benutzer:Liviana\|liviana]] 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)

	=====Axiom I/5=====		=====Axiom I/5=====

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum === ==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ==== Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegrif…“

2011-05-15T09:10:07Z

Die Seite wurde neu angelegt: „=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum === ==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ==== Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegrif…“

Neue Seite

=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

[[Category:Einführung_Geometrie]]