Inzidenz im Raum WS 11/12) - Versionsgeschichte

Buchner: /* Satz I.7: */

2012-03-26T12:33:28Z

Satz I.7:

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2012, 12:33 Uhr
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	=====Satz I.7:=====		=====Satz I.7:=====
	::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.		::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
	-> Kann ich diesen Satz mit Axiom I.4 beweisen? Also Axiom I.3 sagt aus es gibt drei nicht kollineare Punkte und Axiom I.4 sagt zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, somit enthält die Ebene drei Punkte. Hab ich es damit für jede Ebene bewiesen oder nur für eine einzige?! (Flobold?)<br />

	* Die Voraussetzung ist hier eine beliebige festliegende Ebene. Im "nachhinein" kannst du darauf keien Punkte mehr mit Axiom I.3 setzen. (Der Beweis ist damit nicht allgemein).<br />
	~~Aber in Axiom I.4 steht schon nützliches: Jede Ebne enthält einen Punkt. Das wäre schon mal ein Anfang...--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 22:41, 10. Jan. 2012 (CET)~~

	~~[[Category:Einführung_Geometrie]]~~

Buchner: /* Definition I/10: (parallel für Ebenen) */

2012-03-26T12:33:06Z

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2012, 12:33 Uhr
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	=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====		=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
	::Zwei Ebenen ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br /><br />		::Zwei Ebenen ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br /><br />

	~~Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)~~
	~~Kann ich jetzt davon ausgehen?--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 21:30, 21. Dez. 2011 (CET) Eine gute Frage! Sorry, ich sehe sie erst jetzt.<br />~~
	* Du vermisst warscheinlich das "genau dann" - das muss aber nur in einem Satz stehen. Deshalb, ja, du kannst davon ausgehen. Das liegt daran, dass es sich hier um eine Definition handelt.So wie: Ein Viereck heißt Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks parallel sind. > Habe ich ein Viereck mit diesen Seiten, weiß ich, dass ich es Parallelogramm nennen darf.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 19:19, 23. Dez. 2011 (CET)

	==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====		==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====

Tutorin Anne: /* Satz I.7: */

2012-01-10T21:41:06Z

Satz I.7:

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2012, 21:41 Uhr
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	=====Satz I.7:=====		=====Satz I.7:=====
	::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.		::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
	-> Kann ich diesen Satz mit Axiom I.4 beweisen? Also Axiom I.3 sagt aus es gibt drei nicht kollineare Punkte und Axiom I.4 sagt zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, somit enthält die Ebene drei Punkte. Hab ich es damit für jede Ebene bewiesen oder nur für eine einzige?!		-> Kann ich diesen Satz mit Axiom I.4 beweisen? Also Axiom I.3 sagt aus es gibt drei nicht kollineare Punkte und Axiom I.4 sagt zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, somit enthält die Ebene drei Punkte. Hab ich es damit für jede Ebene bewiesen oder nur für eine einzige?! (Flobold?)<br />

			* Die Voraussetzung ist hier eine beliebige festliegende Ebene. Im "nachhinein" kannst du darauf keien Punkte mehr mit Axiom I.3 setzen. (Der Beweis ist damit nicht allgemein).<br />
			Aber in Axiom I.4 steht schon nützliches: Jede Ebne enthält einen Punkt. Das wäre schon mal ein Anfang...--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 22:41, 10. Jan. 2012 (CET)

	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Flobold: /* Satz I.7: */

2012-01-10T09:49:07Z

Satz I.7:

← Nächstältere Version		Version vom 10. Januar 2012, 09:49 Uhr
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	=====Satz I.7:=====		=====Satz I.7:=====
	::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.		::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
			-> Kann ich diesen Satz mit Axiom I.4 beweisen? Also Axiom I.3 sagt aus es gibt drei nicht kollineare Punkte und Axiom I.4 sagt zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, somit enthält die Ebene drei Punkte. Hab ich es damit für jede Ebene bewiesen oder nur für eine einzige?!

	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Tutorin Anne: /* Definition I/10: (parallel für Ebenen) */

2011-12-23T18:19:10Z

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

← Nächstältere Version		Version vom 23. Dezember 2011, 18:19 Uhr
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	Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)		Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)
	Kann ich jetzt davon ausgehen?--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 21:30, 21. Dez. 2011 (CET)		Kann ich jetzt davon ausgehen?--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 21:30, 21. Dez. 2011 (CET) Eine gute Frage! Sorry, ich sehe sie erst jetzt.<br />
			* Du vermisst warscheinlich das "genau dann" - das muss aber nur in einem Satz stehen. Deshalb, ja, du kannst davon ausgehen. Das liegt daran, dass es sich hier um eine Definition handelt.So wie: Ein Viereck heißt Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks parallel sind. > Habe ich ein Viereck mit diesen Seiten, weiß ich, dass ich es Parallelogramm nennen darf.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 19:19, 23. Dez. 2011 (CET)

	==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====		==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====

RicRic: /* Definition I/10: (parallel für Ebenen) */

2011-12-21T20:30:40Z

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Dezember 2011, 20:30 Uhr
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	Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)		Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)
			Kann ich jetzt davon ausgehen?--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 21:30, 21. Dez. 2011 (CET)

	==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====		==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====

RicRic: /* Definition I/10: (parallel für Ebenen) */

2011-12-05T22:09:50Z

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2011, 22:09 Uhr
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	=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====		=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
	::Zwei Ebenen ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.		::Zwei Ebenen ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.<br /><br />

			Kann ich dann davon ausgehen, dass wenn zwei Ebenen keinen Punkt gemeinsam haben sie dann parallel sind? Steht ja so nicht da.--[[Benutzer:RicRic\|RicRic]] 23:09, 5. Dez. 2011 (CET)

	==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====		==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum === ==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ==== Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegrif…“

2011-11-08T12:38:33Z

Die Seite wurde neu angelegt: „=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum === ==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ==== Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegrif…“

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=== Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum ===
==== Inzidenzaxiome der Raumgeometrie ====
Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

=====Axiom I/0=====

::Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====

::Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====

::Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====

::Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

=====Axiom I/4=====

::Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I/5=====

::Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I/6=====

::Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Definition I/6: (komplanar)=====

::Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Axiom I/7=====

::Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

==== Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome ====
=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
::Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
::Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
::In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I/9: (windschief )=====
::Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
::Zwei Ebenen ''E''<sub>1</sub> und ''E''<sub>2</sub> sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

==== Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie ====
=====Satz I.5:=====
::Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
::Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
::Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

[[Category:Einführung_Geometrie]]