Isomorphie von Gruppen 2012 13 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Pfeilklassen des Raumes und \mathbb{R}^3 */

2012-12-12T17:44:56Z

Pfeilklassen des Raumes und \mathbb{R}^3

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	Behauptung: <math>\varphi</math> ist ein Gruppenisomorphismus von <math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> auf <math>\left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)</math>		Behauptung: <math>\varphi</math> ist ein Gruppenisomorphismus von <math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> auf <math>\left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)</math>
	==Pfeilklassen des Raumes und <math>\mathbb{R}^3</math>==		==Pfeilklassen des Raumes und <math>\mathbb{R}^3</math>==
			analog zum zweidimensionalen Fall
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	[[Kategorie:Linalg]]		[[Kategorie:Linalg]]

m.g. am 12. Dezember 2012 um 17:44 Uhr

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			=Definition=
	{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomorph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}		{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomorph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}
			=Beispiele=
			==Vierergruppen==
			ergänzen Sie selbst ...
			==Pfeilklassen der Ebene und <math>\mathbb{R}^2</math>==
			Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem <math>K</math> mit dem Koordinatenursprung <math>O</math> zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt <math>0</math>. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung <math>\varphi</math> von der Menge der Pfeilklassen auf <math>\mathbb{R}^2</math>:<br />
			*<math>\varphi (\vec{OP}) := \begin{pmatrix} x_P \\ y_P \end{pmatrix}</math> mit <math>x_p, y_P</math> sind die Kordnaten von <math>P</math> bzgl. <math>K</math>.

			Behauptung: <math>\varphi</math> ist ein Gruppenisomorphismus von <math>\left(\mathbb{P}_2, +\right)</math> auf <math>\left(\mathbb{R}^2, \oplus\right)</math>
			==Pfeilklassen des Raumes und <math>\mathbb{R}^3</math>==

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m.g. am 12. Dezember 2012 um 17:32 Uhr

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	{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> ~~isomporph~~ zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}		{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomorph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}

m.g. am 12. Dezember 2012 um 17:31 Uhr

2012-12-12T17:31:38Z

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	{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass ~~gilt~~<br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomporph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}		{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass <br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> gilt, dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomporph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}

m.g. am 12. Dezember 2012 um 17:30 Uhr

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			{{Definition\|(Gruppenisomorphismus)<br />Es seien <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion <math>\varphi</math> von <math>G</math> auf <math>H</math> derart existiert, dass gilt<br /><math>\forall a, b \in G: \varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)</math> dann sind die beiden Gruppen <math>\left(G, \oplus \right)</math> und <math>\left(H, \otimes \right)</math> isomporph zueinander. Die Abbildung <math>\varphi</math> heißt Gruppenisomorphismus.}}

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