Lösung Serie 08 - WiSe 2011/12 - Versionsgeschichte

HecklF am 10. Juni 2012 um 11:46 Uhr

2012-06-10T11:46:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 11:46 Uhr
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	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:53, 10. Jun. 2012 (CEST)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:53, 10. Jun. 2012 (CEST)

			<br /><br />
			Und weil das hier alles mehr oder weniger großer Quatsch ist und ich mit dem zeugs hier mal sowas von nicht zufrieden bin, kommt hier der '5-Minuten-Prüfungs-Turbo' :-)
			===5-Minuten-Prüfungs-Turbo===
			Ohne das ganze vorgeplenkel von vorhin können wir mit Verweis auf die Skizze angeben, dass der Flächeninhalt von unserem Fünfeck <math>A_5 \ = \ 2,5a*h</math> ist.<br />
			Nun wissen wir, dass alle regelmäßigen Fünfecke zueinander ähnlich sind. Es gilt demnach folgendes: <math>\frac{a} {h_a} = \frac{b} {h_b} = \frac{c} {h_c} </math>.<br />
			Nun kann ich ja aus jucks und tollerrei mal Behaupten (was ich oben unbegründeterweise gemacht habe), dass <math>2,5ah_a + 2,5bh_b = 2,5c*h_c</math> ist. Wir beweisen wie folgt direkt.<br /><br />
			<math>2,5ah_a + 2,5bh_b = 2,5c*h_c</math><br />
			Dies dividieren wir durch 2,5 und es bleibt: <math>ah_a + bh_b = c*h_c</math>.
			Weil nun gilt, dass die Seiten und die Höhen ähnlich sind, kann ich mit <math>\frac{a} {h_a} = \frac{b} {h_b} = \frac{c} {h_c} </math> multiplizieren und erhalte: <math>a^2 \ + \ b^2 \ = \ c^2</math><br />
			Und weil der gilt bin ich fertig - SOOOOOO EINFACH WÄRS GEWESEN ÄÄÄÄÄHHHHHHHH!!!!!! - und in 5 Minuten tatsächlich schaffbar :-(. --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 13:46, 10. Jun. 2012 (CEST)



	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

HecklF: /* 'Nach der nächsten Maus' */

2012-06-10T11:01:46Z

'Nach der nächsten Maus'

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 11:01 Uhr
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	\| 3 \|\| 9 \|\| <math>7,5h</math> \|\|<math>22,5*h</math>		\| 3 \|\| 9 \|\| <math>7,5h</math> \|\|<math>22,5*h</math>
	\|}		\|}
	Was heißt das nun abstrakt: <math>a \ = \frac{a^2} {a} \ und \ a \ = \ \frac{2,5aha} {2,5ah}</math>. Nun folgt daraus folgendes und nichts anderes: Wenn der Satz des Pytagoras lautet: a² + b² = c² gilt auch <math>2,5ah</math> + <math>2,5bh</math> = <math>2,5ch</math>		Was heißt das nun abstrakt: <math>a \ = \frac{a^2} {a} \ und \ a \ = \ \frac{2,5aha} {2,5ah}</math>. Nun folgt daraus folgendes und nichts anderes: Wenn der Satz des Pytagoras lautet: a² + b² = c² gilt auch <math>2,5a^2h</math> + <math>2,5b^2h</math> = <math>2,5c^2h</math>
	--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:53, 10. Jun. 2012 (CEST)		--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:53, 10. Jun. 2012 (CEST)

HecklF: /* Beweis */

2012-06-10T10:58:27Z

Beweis

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 10:58 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />		Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />
	Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />		Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />
	Nun gilt <math>(2,5a_1h_1) + (2,5a_2h_2) = (2,5a_3h_3) </math> oder um auf den Satz des Pythagoras etwas genauer zurück zu kommen sogar mit Quadraten: <math>(2,5~~a_1~~^2h_1) + (2,5~~a_2~~^2h_2) = (2,5~~a_3~~^2h_3) </math> <br />		Nun gilt <math>(2,5a_1h_1) + (2,5a_2h_2) = (2,5a_3h_3) </math> oder um auf den Satz des Pythagoras etwas genauer zurück zu kommen sogar mit Quadraten: <math>(2,5a^2h_1) + (2,5b^2h_2) = (2,5c^2h_3) </math> <br />
	Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)		Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)

HecklF: /* Beweis */

2012-06-10T10:57:50Z

Beweis

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 10:57 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />		Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />
	Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />		Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />
	Nun gilt <math>(2,5a_1h_1) + (2,5a_2h_2) = (2,5a_3h_3) </math><br />		Nun gilt <math>(2,5a_1h_1) + (2,5a_2h_2) = (2,5a_3h_3) </math> oder um auf den Satz des Pythagoras etwas genauer zurück zu kommen sogar mit Quadraten: <math>(2,5a_1^2h_1) + (2,5a_2^2h_2) = (2,5a_3^2h_3) </math> <br />
	Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)		Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)

HecklF: /* 'Nach der nächsten Maus' */

2012-06-10T10:53:25Z

'Nach der nächsten Maus'

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 10:53 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"
	!a!!a^2!!<math>4,~~25a~~^2*h^2</math>		!a!!<math>a^2</math>!!<math>2,5ah</math>!!<math>2,5a^2h</math>
	\|-		\|-
	\| 1 \|\| 1 \|\| <math>4,~~25h^~~2</math>		\| 1 \|\| 1 \|\| <math>2,5h</math> \|\| <math>2,5h</math>
	\|-		\|-
	\| 2 \|\| 4 \|\| <math>17*h^2</math>		\| 2 \|\| 4 \|\| <math>5h</math> \|\| <math>10*h</math>
	\|-		\|-
	\| 3 \|\| 9 \|\| <math>38,25*h^2</math>		\| 3 \|\| 9 \|\| <math>7,5h</math> \|\|<math>22,5*h</math>
	\|}		\|}
	Was heißt das nun abstrakt: <math>~~4,25a~~^2*h^2</math> ~~ist~~ nichts anderes ~~als eine proportionale Funktion mit dem Proportionalitätsfaktor von 4~~,25.		Was heißt das nun abstrakt: <math>a \ = \frac{a^2} {a} \ und \ a \ = \ \frac{2,5aha} {2,5ah}</math>. Nun folgt daraus folgendes und nichts anderes: Wenn der Satz des Pytagoras lautet: a² + b² = c² gilt auch <math>2,5ah</math> + <math>2,5bh</math> = <math>2,5ch</math>
			--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:53, 10. Jun. 2012 (CEST)

HecklF: /* Beweis */

2012-06-10T10:35:21Z

Beweis

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 10:35 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />		Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />
	Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />		Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />
	Nun gilt <math>(2,5a_1h_1)^2 + (2,5a_2h_2)^2 = (2,5a_3h_3)^2 </math><br />		Nun gilt <math>(2,5a_1h_1) + (2,5a_2h_2) = (2,5a_3h_3) </math><br />
	Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)		Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)

	==='Nach der nächsten Maus'===		==='Nach der nächsten Maus'===
	Wir haben in der Voraussetzung, dass der 'Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks proportional zum Quadrat der Seitenlänge <math>a</math>' ist. Was bedeutet das? Machen wir uns dies anhand eines Beispiels klar:<br /><br />		Wir haben in der Voraussetzung, dass der 'Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks proportional zum Quadrat der Seitenlänge <math>a</math>' ist. Was bedeutet das? Machen wir uns dies anhand eines Beispiels klar:<br /><br />

HecklF: /* 'Nach der nächsten Maus' */

2012-06-10T10:34:59Z

'Nach der nächsten Maus'

@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
 Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)
 ==='Nach der nächsten Maus'===
 [[Kategorie:Elementargeometrie]]

HecklF: /* Beweis */

2012-06-10T10:20:43Z

Beweis

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 10:20 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	Nun gilt <math>(2,5a_1h_1)^2 + (2,5a_2h_2)^2 = (2,5a_3h_3)^2 </math><br />		Nun gilt <math>(2,5a_1h_1)^2 + (2,5a_2h_2)^2 = (2,5a_3h_3)^2 </math><br />
	Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)		Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)
			==='Nach der nächsten Maus'===
	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

HecklF: /* Beweis */

2012-06-10T10:19:39Z

Beweis

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2012, 10:19 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
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	===Beweis===		===Beweis===
			Eigentlich löse ich die Aufgabe lediglich aus Freude darüber, herausgefunden zu haben, wie es denn funktionieren kann :-). Grundlegende Idee ist nämlich bereits in der Grundschuldidaktik zu finden: Flächeninhalte sind identisch, wenn sie deckungsgleich, zerlegungsgleich oder auslegungsgleich sind (vgl. Franke 2007). Letzteres suggeriert oftmals das Auslegen mit sog. Einheitsquadraten. Das funktioniert allerdinngs bei unserem Fünfeck mittelgut. Wenn wir uns von der Idee mit den Einheitsquadraten verabschieden und stattdessen Dreiecke zum Auslegen verwenden könnte es funktionieren. Das scheint vor allem deshalb sinnvoll, da man jede Fläche in Dreiecke teilen kann. Schwierig ist an der Aufgabe nur, dass wir bereits in den vorherigen Schritten derart mit Dreiecken gearbeitet haben (bedingt durch die Diagonalen), dass man jetzt den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht. Heißt nichts anderes: Welche Dreiecke bringen uns schlussendlich eigentlich zum Ziel?<br />
			Obige Skizze versucht es zu verdeutlichen. Wir wissen bereits, dass jedes regelmäßige n-Eck einen Umkreis besitzt. Zudem ist (glücklicherweise) der Satz des Pythagoras bereits vorausgesetzt. Nun können wir uns das Fünfeck in fünf kongruente Teildreiecke derart zerlegen, wie in der Skizze angezeigt ist. Über SSS wird relativ schnell klar, dass die fünf Dreiecke kongruent zueinander sind (da F Mittelpunkt des Umkreises und Fünfeck regelmäßig). Durch diese Eigenschaft wissen wir auch, dass die Winkel um F in jedem der Dreiecke kongruent zueinander sind.<br />
			Nun legen wir ein Lot von F auf o. B. d. A. <math>\overline{AB}</math>. Der Radius des Kreises k sei mit r bezeichnet. Für dieses Lot gilt nun folgende Länge: <math>\left\| FG \right\| = \sqrt{(\frac{1} {2}a)^2 + r^2}</math>.<br /><br />
			Der Flächeninhalt für unser Fünfeck <math>A_5</math> lässt sich nun folgendermaßen berechnen: <math>A_5 \ = \ \frac{1} {2} \left\| FG \right\| * a * 5</math><br /><br />
			Wir haben nun folgendes gezeigt: Wir haben gezeigt, dass man die Höhe der Teildreiecke mit Pythagoras berechnent kann (dass die beiden kleineren Teildreiecke <math>\overline{AFG} \ und \ \overline{GBF} </math> kongruent zueinander sind folgt aus SSS oder anderen Kongreuenzsätzen. Wir können mittels Innenwinkel eines Teildreiecks <math>\overline{AFG}</math> und dem <math>\sin (\angle AFG ) = \sin (36) \ bzw. \ \cos (\angle AFG ) = \cos (36)</math> den Radius r in Abghängigkeit bekannter Längen angeben aber das bringt uns nun nicht mehr näher an das Ziel, das vor unseren Augen liegt. Da wir nun alles gezeigt haben, was wir folgend verwenden wollen, können wir nun folgende Vereinfachung treffen: <math>\left\| FG \right\| \ sei \ h.</math>. Nun gilt für unseren Flächeninhalt folgendes: <math>A_5 \ = \ 2,5ah</math>. <br /><br />
			Nun gilt <math>(2,5a_1h_1)^2 + (2,5a_2h_2)^2 = (2,5a_3h_3)^2 </math><br />
			Und warum das so ist, seht ihr nach der nächsten Maus :-) --[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 12:19, 10. Jun. 2012 (CEST)
	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

HecklF: /* Aufgabe 6 */

2012-06-10T09:50:21Z

Aufgabe 6

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			===Lösungsidee===
			===Skizze===
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			===Beweis===

	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]