Lösung von Aufg. 6.6 - Versionsgeschichte

Schnirch am 2. Dezember 2010 um 13:47 Uhr

2010-12-02T13:47:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Dezember 2010, 13:47 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.		Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

			==Lösung --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 13:47, 2. Dez. 2010 (UTC)==
			Die nachfolgenden Lösungsvorschläge sind korrekt, wenn sie davon ausgehen, dass es unter vier nicht komplanaren Punkten keine drei gibt, die kollinear sind. Dies wurde bei allen Lösungen vorausgesetzt, müsste aber natürlich noch gezeigt werden. An dieser Stelle verweise ich auf die Aufgabe 7.3. Da werden wir diese Lücke schließen.--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 13:47, 2. Dez. 2010 (UTC)
			==vorangegangene Lösungsvorschläge==
	1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden<br />		1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden<br />

Pünktchen am 26. November 2010 um 14:22 Uhr

2010-11-26T14:22:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2010, 14:22 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	4. komp(A,B,C,D) [3), Definition komplanar] <br />		4. komp(A,B,C,D) [3), Definition komplanar] <br />
	5. Widerspruch zur Voraussetzung.		5. Widerspruch zur Voraussetzung.
			--[[Benutzer:Pünktchen\|Pünktchen]] 14:22, 26. Nov. 2010 (UTC)
	<br />		<br />

Jbo-sax am 26. November 2010 um 14:21 Uhr

2010-11-26T14:21:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2010, 14:21 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:


			<br />
			Vor. nkomp(A,B,C,D)<br />
			Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden<br />
			Ann. oBdA A=B<br />
			<br />
			Beweisschritt [Begründung]<br />
			1. A=B [Annahme]<br />
			2. Es existiert eine Ebene E, die A,C,D enthält. [Axiom I/4]<br />
			3. A,B,C,D liegen in der Ebene. [1), 2)]<br />
			4. komp(A,B,C,D) [3), Definition komplanar] <br />
			5. Widerspruch zur Voraussetzung.

			<br />

			----


			Vor. nkomp(A,B,C,D)<br />
			Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden<br />
			Ann. oBdA A=B<br />
			<br />
			Beweisschritt [Begründung]<br />
			1. A=B [Annahme]<br />
			2. Es existiert eine Gerade g, die A,C enthält. [Axiom I/1]<br />
			3. koll(A,C) [2), Definition kollinear]<br />
			4. koll(A,B,C) [3),1)]<br />
			5. Es existiert ein Punkt D, sodass nkoll(A,B,C,D) [4),Definition nichtkollinear]<br />
			6. Es existiert eine Ebene E, die A,B,C,D enthält. [5), Axiom I/4] <br />
			7. komp(A,B,C,D) [6), Definition komplanar]<br />
			8. Widerspruch zur Voraussetzung.
			--[[Benutzer:Jbo-sax\|Jbo-sax]] 14:21, 26. Nov. 2010 (UTC)<br />
			<br />

	3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />		3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />

Engel82 am 23. November 2010 um 14:53 Uhr

2010-11-23T14:53:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2010, 14:53 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:
	--[[Benutzer:Sommer80\|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)<br />		--[[Benutzer:Sommer80\|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)<br />
	6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)		6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)
			[[Category:Einführung_Geometrie]]

DeFloGe am 23. November 2010 um 13:06 Uhr

2010-11-23T13:06:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2010, 13:06 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />		Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />
	* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen		* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen
			--> da wir annehmen, dass die vier Punkte nicht paarweise verschieden sind, bedeutet das, dass 2 Punkte identisch sind. Da es aber egal ist, wlche zwei Punkte das sind, nehmen wir hier einfach C=D an, schreiben aber hinzu: ohne Beschränkung der Allgemeinheit (oBdA)--[[Benutzer:DeFloGe\|DeFloGe]] 13:06, 23. Nov. 2010 (UTC)

	Beweisschritt Begründung<br />		Beweisschritt Begründung<br />

Bulkathos am 23. November 2010 um 00:39 Uhr

2010-11-23T00:39:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2010, 00:39 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden<br />		Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden<br />
	Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />		Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />
			* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen

	Beweisschritt Begründung<br />		Beweisschritt Begründung<br />
Zeile 21:		Zeile 22:
	Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.		Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

	* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen

	3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />		3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />

Bulkathos am 23. November 2010 um 00:37 Uhr

2010-11-23T00:37:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2010, 00:37 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6)<br />		7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6)<br />
	Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.		Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

			* Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen

	3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />		3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />

Engel82 am 17. November 2010 um 13:04 Uhr

2010-11-17T13:04:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. November 2010, 13:04 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:

	5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar<br />		5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar<br />
	--[[Benutzer:Sommer80\|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Sommer80\|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)<br />
			6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)

Sommer80 am 17. November 2010 um 09:18 Uhr

2010-11-17T09:18:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. November 2010, 09:18 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.		Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

			1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden<br />

			2. <br />
			Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar<br />
			Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden<br />
			Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />

	[[~~Category~~:~~Einführung_Geometrie~~]]		Beweisschritt Begründung<br />
			1. Es existierte genau eine Gerade g Axiom I/1<br />
			die die Punkte A und B enthält<br />
			2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g Axiom I/3<br />
			3. A,B C sind nicht kollinear 1), 2)<br />
			4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält Axiom I/4<br />
			5. C = D Annahme<br />
			6. D ist Element der Ebene E 5)<br />
			7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6)<br />
			Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

			3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar<br />

			4. <br />
			Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D<br />
			Behauptung: A,B,C,D sind komplanar

			Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C <br /> enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar<br />

			5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar<br />
			--[[Benutzer:Sommer80\|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)

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2010-11-16T14:14:34Z

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Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

[[Category:Einführung_Geometrie]]