Lösung von Aufg. 7.4 (SoSe 11) - Versionsgeschichte

m.g. am 20. Juni 2011 um 12:11 Uhr

2011-06-20T12:11:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juni 2011, 12:11 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			==Die Aufgabe==
	Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.		Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

...s... am 18. Juni 2011 um 09:28 Uhr

2011-06-18T09:28:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2011, 09:28 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:

	keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder? WikiNutzer hat an dieser Stelle schon viel gearbeitet und wir wollen ja nicht, dass er die Simpsons verpasst :) Vllt. könnte an dieser Stelle jemand anderes den Beweis führen... oder ist der Beweis wirklich identisch zu dem Beweis unter Punkt 2? --[[Benutzer:Andreas\|Tutor Andreas]] 09:50, 26. Mai 2011 (CEST)<br />		keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder? WikiNutzer hat an dieser Stelle schon viel gearbeitet und wir wollen ja nicht, dass er die Simpsons verpasst :) Vllt. könnte an dieser Stelle jemand anderes den Beweis führen... oder ist der Beweis wirklich identisch zu dem Beweis unter Punkt 2? --[[Benutzer:Andreas\|Tutor Andreas]] 09:50, 26. Mai 2011 (CEST)<br />

			........

			Die Beweisführung ist fast identisch zu der in 2.
			Die Annahme aus 2 wird in 3 zur Voraussetzung und am Schluss kommt es zu keinem Widerspruch. Es ist also ein direkter Beweis und nicht wie in 2 ein indirekter.


			Vor.: A,B,C sind nicht paarweise verschieden → (oBdA) A=B, Fall 1: B ≠ C, Fall 2: B = C

			Beh:: koll (A,B,C)


			BEWEIS:

			Fall 1:

			1. A=B, B≠C (Vor. Fall 1)

			2. Ǝg: B,C ϵ g (Schritt 1, Axiom I.1)

			3. A ϵ g (Schritt 1: A=B)

			4. A,B,C ϵ g (Schritt 2, 3)

			5. koll (A,B,C) (Schritt 4, Def. Koll)


			Fall 2:

			1. A=B=C (Vor. Fall 2)

			2. ƎP≠C (Axiom I.2)

			3. Ǝg: P,C ϵ g (Schritt 2, Axiom I.1)

			4. A,B ϵ g (Schritt 1: A=B=C)

			5. A,B,C ϵ g (Schritt 3, 4)

			6. koll (A,B,C) (Schritt 5, Def. Koll)


			q.e.d

			--[[Benutzer:...s...\|...s...]] 11:28, 18. Jun. 2011 (CEST)

	----		----

Andreas am 26. Mai 2011 um 07:50 Uhr

2011-05-26T07:50:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Mai 2011, 07:50 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:

	3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear.<br />		3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear.<br />
	keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder?<br />
			----

			keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder? WikiNutzer hat an dieser Stelle schon viel gearbeitet und wir wollen ja nicht, dass er die Simpsons verpasst :) Vllt. könnte an dieser Stelle jemand anderes den Beweis führen... oder ist der Beweis wirklich identisch zu dem Beweis unter Punkt 2? --[[Benutzer:Andreas\|Tutor Andreas]] 09:50, 26. Mai 2011 (CEST)<br />

			----

	5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.<br />		5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.<br />
	6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer\|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)<br /><br />		6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer\|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)<br /><br />

Andreas am 26. Mai 2011 um 07:44 Uhr

2011-05-26T07:44:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Mai 2011, 07:44 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	----		----

	2. '''Beweis:''' <br />Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)<br />Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden<br />Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, <math>A</math> und <math>B</math><br />		2. '''Beweis:''' <br />Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)<br />Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden<br />Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, o.B.d.A. <math>A</math> und <math>B</math><br />
	Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören.<br />		Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören.<br />
	Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an.<br />		Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an.<br />

Andreas am 26. Mai 2011 um 07:42 Uhr

2011-05-26T07:42:59Z

WikiNutzer am 24. Mai 2011 um 18:26 Uhr

2011-05-24T18:26:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Mai 2011, 18:26 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:

	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]
			<br /><br />
			1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.<br />
			2. Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)<br />Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden<br />Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, <math>A</math> und <math>B</math><br />
			Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören.<br />
			Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an.<br />
			Da es also eine Gerade gibt, der alle drei Punkte angehören, sind sie kollinear, was ein '''Widerspruch''' zur Voraussetzung ist.<br />
			Das gleiche gilt, wenn ich <math>B</math> und <math>C</math> oder <math>A</math> und <math>C</math> in der Annahme identisch setze.
			Ich habe das Gefühl, hier viele Schritte gemacht zu haben, die gar nicht notwendig sind - und auch beim nächsten bin ich mir unsicher, ob der überhaupt gebraucht wird:
			Falls <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> identisch sind, kann ich einen vierten Punkt wählen, durch den und die drei identischen eine Gerade legen und schon wieder gibt es eine Gerade, die alle drei Punkte enthält und damit einen Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt.<br />
			3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear.<br />
			keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder?<br />
			5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.<br />
			6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer\|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)<br /><br />

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden. # Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$ , $B$ und …“

2011-05-18T12:49:50Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden. # Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und …“

Neue Seite

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

[[Category:Einführung_Geometrie]]

← Nächstältere Version		Version vom 26. Mai 2011, 07:42 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	<br /><br />		<br /><br />
	1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.<br />		1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.<br />
	2. Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)<br />Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden<br />Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, <math>A</math> und <math>B</math><br />
			----

			2. '''Beweis:''' <br />Voraussetzung: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)<br />Behauptung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden<br />Annahme (für indirekten Beweis): zwei der drei Punkte sind NICHT verschieden, also identisch, sagen wir mal, <math>A</math> und <math>B</math><br />
	Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören.<br />		Aus Axiom I/1 folgt, dass es genau eine Gerade gibt, der <math>A</math> und der dritte Punkt <math>C</math> angehören.<br />
	Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an.<br />		Da <math>A</math> aber mit <math>B</math> identisch ist (Annahme), gehört <math>B</math> auch dieser Geraden <math>AC</math> an.<br />
Zeile 19:		Zeile 22:
	Ich habe das Gefühl, hier viele Schritte gemacht zu haben, die gar nicht notwendig sind - und auch beim nächsten bin ich mir unsicher, ob der überhaupt gebraucht wird:		Ich habe das Gefühl, hier viele Schritte gemacht zu haben, die gar nicht notwendig sind - und auch beim nächsten bin ich mir unsicher, ob der überhaupt gebraucht wird:
	Falls <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> identisch sind, kann ich einen vierten Punkt wählen, durch den und die drei identischen eine Gerade legen und schon wieder gibt es eine Gerade, die alle drei Punkte enthält und damit einen Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt.<br />		Falls <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> identisch sind, kann ich einen vierten Punkt wählen, durch den und die drei identischen eine Gerade legen und schon wieder gibt es eine Gerade, die alle drei Punkte enthält und damit einen Widerspruch zur Voraussetzung erzeugt.<br />

			----

	3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear.<br />		3. Kontraposition: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind , dann sind sie kollinear.<br />
	keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder?<br />		keine Zeit für 4., gleich kommen die Simpsons ;-), ist aber doch im Grunde der Widerspruchsbeweis von oben, oder?<br />
	5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.<br />		5. Umkehrung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.<br />
	6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer\|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)<br /><br />		6. Nein, gilt nicht: drei verschiedene Punkte auf einer Geraden sind das Gegenbeispiel --[[Benutzer:WikiNutzer\|WikiNutzer]] 20:26, 24. Mai 2011 (CEST)<br /><br />