Lösung von Aufg. 7.9 - Versionsgeschichte

Schnirch am 9. Dezember 2010 um 14:05 Uhr

2010-12-09T14:05:55Z

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			== Lösung --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC) ==
			<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
			::Wenn drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

			<u>'''Beweis'''</u><br />

			Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
			<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
			koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)


			<u>'''Behauptung'''</u><br />
			::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

			{\| class="wikitable "
			\|+ Beweis
			! Nr.
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
			\| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
			\| Voraussetzung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\| es gilt eine der drei Gleichungen:
			<br /><math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			<br /><math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math>
			\| (I), Axiom II/3
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
			\| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
			\| (II), Def (Zwischenrelation)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
			\| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
			<br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			\| (IV), (Axiom II/3)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AB \right\| - \left\| CB \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			\| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AB \right\|- \left\| BC \right\| </math>
			\| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
			\| <math>\left\| AB \right\| + 2 \left\| BC \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			\| (VII), + <math>\left\| BC \right\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
			\| <math>\ 2 \left\| BC \right\| = 0 </math>
			\| (VIII), - <math>\left\| AB \right\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
			\| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
			<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
			\|
			\|}

			==vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge==
	<u>'''Satz:'''</u>		<u>'''Satz:'''</u>
	::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.		::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Engel82 am 26. November 2010 um 18:36 Uhr

2010-11-26T18:36:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2010, 18:36 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />		<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />

	1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und II/3<br />		1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3<br />
	2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />		2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
	3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />		3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />

Engel82 am 26. November 2010 um 18:36 Uhr

2010-11-26T18:36:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2010, 18:36 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />		<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />

	1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und ~~Def. Zw~~<br />		1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und II/3<br />
	2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />		2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
	3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />		3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />

Engel82 am 25. November 2010 um 00:09 Uhr

2010-11-25T00:09:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2010, 00:09 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Beweisen Sie diesen Satz.<br />		Beweisen Sie diesen Satz.<br />

	Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)<br />		<u>Vor</u>: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)<br />
	Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)<br />		<u>Behauptung:</u> Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)<br />

	Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />		<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />

	1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Def. Zw<br />		1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Def. Zw<br />

Engel82 am 25. November 2010 um 00:09 Uhr

2010-11-25T00:09:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2010, 00:09 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />		Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />

	1) AB+BC=AC und AC+CB=~~AB___________________laut~~ Annahme und Def. Zw<br />		1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Def. Zw<br />
	2) AB+BC+CB=~~AB_____________________________Rechnen~~ in R und 1)<br />		2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
	3) AB+BC+BC=~~AB____________________________Axiom~~ A/2 und 2)<br />		3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />
	4) ~~2BC~~ =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br />		4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br />
	5) B=C___________________________________4)<br />		5) B=C___________________________________4)<br />
	6) Widerspruch zur Vor.<br />		6) Widerspruch zur Vor.<br />

Engel82 am 25. November 2010 um 00:07 Uhr

2010-11-25T00:07:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2010, 00:07 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />		Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />

	1) ~~<math>/ABmid </math>~~AB+BC=AC und AC+CB=AB___________________laut Annahme und Def. Zw<br />		1) AB+BC=AC und AC+CB=AB___________________laut Annahme und Def. Zw<br />
	2) AB+BC+CB=AB_____________________________Rechnen in R und 1)<br />		2) AB+BC+CB=AB_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
	3) AB+BC+BC=AB____________________________Axiom A/2 und 2)<br />		3) AB+BC+BC=AB____________________________Axiom A/2 und 2)<br />

Engel82 am 25. November 2010 um 00:07 Uhr

2010-11-25T00:07:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2010, 00:07 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />		Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)<br />

	1) AB+BC=AC und AC+CB=AB___________________laut Annahme und Def. Zw<br />		1) <math>/ABmid </math>AB+BC=AC und AC+CB=AB___________________laut Annahme und Def. Zw<br />
	2) AB+BC+CB=AB_____________________________Rechnen in R und 1)<br />		2) AB+BC+CB=AB_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
	3) AB+BC+BC=AB____________________________Axiom A/2 und 2)<br />		3) AB+BC+BC=AB____________________________Axiom A/2 und 2)<br />

Engel82 am 25. November 2010 um 00:05 Uhr

2010-11-25T00:05:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2010, 00:05 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	4) 2BC =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br />		4) 2BC =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br />
	5) B=C___________________________________4)<br />		5) B=C___________________________________4)<br />
	6) ~~Widersruch~~ zur Vor.<br />		6) Widerspruch zur Vor.<br />
	7) Annahme ist zu verwerfen<br />		7) Annahme ist zu verwerfen<br />
	8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)		8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)

	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Engel82 am 25. November 2010 um 00:05 Uhr

2010-11-25T00:05:03Z

Engel82 am 25. November 2010 um 00:03 Uhr

2010-11-25T00:03:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2010, 00:03 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Beweisen Sie diesen Satz.<br />		Beweisen Sie diesen Satz.<br />

			Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
			Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)

			Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)

			1) AB+BC=AC und AC+CB=AB___________________laut Annahme und Def. Zw
			2) AB+BC+CB=AB_____________________________Rechnen in R
			3) AB+BC+BC=AB____________________________Axiom A/2 und 2)
			4) 2BC =O_________________________________Rechnen in R und 3)
			5) B=C___________________________________4)
			6) Widersruch zur Vor.
			7) Annahme ist zu verwerfen
			8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)

	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]