Lösung von Aufg. 8.5 - Versionsgeschichte

Schnirch am 14. Dezember 2010 um 14:16 Uhr

2010-12-14T14:16:18Z

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	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)
	~~due~~ Lösung von Engel82 ist auch OK!--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)		die Lösung von Engel82 ist auch OK!--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)
			[[Category:Einführung_Geometrie]]

Schnirch am 14. Dezember 2010 um 14:15 Uhr

2010-12-14T14:15:46Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
   VSS: zwei konvexe Punktmengen o.B.d.A M1 und M2<br />
   Beh: Durchschnitt ist konvex<br />
   Beweisschritt                                       Begründung<br />
 . A Element M1 geschnitten M2 und B Element         Axiom vom Lineal<br />
      M1 geschnitten M2<br />
 . A,B sind Element von M1 und A,B Element M2        1<br />
@@ Zeile 12: / Zeile 45: @@
      daraus folgt M1 geschnitten M2 ist konvex          4
 --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 14:25, 30. Nov. 2010 (UTC)
+ zu 1. Die Begründung ist nicht korrekt, 1. folgt einfach aus der Voraussetzung, ansonsten OK!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:15, 14. Dez. 2010 (UTC)
 <u>2. Lösungsversuch:</u><br />
 <u>Vor</u>: M und N sind konvexe Punktmengen<br />
@@ Zeile 30: / Zeile 63: @@
 ) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 20:00 Uhr

2010-11-30T20:00:26Z

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	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von M		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von M

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge ~~</math>~~ <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:59 Uhr

2010-11-30T19:59:53Z

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	1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von N		1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von N

	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von m		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von M

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:59 Uhr

2010-11-30T19:59:13Z

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	<math>\in M\cap N </math><br />		<math>\in M\cap N </math><br />

	1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />		1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von N

	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br /> Teilmenge von m

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:58 Uhr

2010-11-30T19:58:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2010, 19:58 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />		1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />

	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in M</math> und <math>P \in M</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:57 Uhr

2010-11-30T19:57:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2010, 19:57 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	<math>\in M\cap N </math><br />		<math>\in M\cap N </math><br />

	1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N~~\cap~~</math> und <math>P \in N~~\cap~~</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />		1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />

	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N~~\cap~~</math> und <math>P \in N~~\cap~~</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N</math> und <math>P \in N</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:56 Uhr

2010-11-30T19:56:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2010, 19:56 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	<math>\in M\cap N </math><br />		<math>\in M\cap N </math><br />

	1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\~~capN~~ </math> folgt aus<math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />		1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus<math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />

	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:55 Uhr

2010-11-30T19:55:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2010, 19:55 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:

	zu zeigen:<br />		zu zeigen:<br />
	<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap </math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge<br />		<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge<br />
	<math>\in M\cap N </math><br />		<math>\in M\cap N </math><br />

	1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\~~cap~~ </math> folgt aus<math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />		1)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\capN </math> folgt aus<math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math><br />

	2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />		2)<math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math> folgt aus <math>P \in N\cap</math> und <math>P \in N\cap</math> daraus folgt<math>\overline{PQ}</math><br />

	3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)		3) 1) und 2) Aus <math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von M und<math>\overline{PQ}</math> Teilmenge von N folgt nach Def. einer konvexen Punktmenge </math> <math>P \in M\cap N </math> und <math>Q\in M\cap N </math><br />--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 19:53, 30. Nov. 2010 (UTC)

Engel82 am 30. November 2010 um 19:54 Uhr

2010-11-30T19:54:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2010, 19:54 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	<u>Beh:</u> Der Durchschnitt von M und N ist konvex<br />		<u>Beh:</u> Der Durchschnitt von M und N ist konvex<br />

	M ist konvex:<math>P \in g</math> und <math>Q \in g</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von M<br />		M ist konvex:<math>P \in M</math> und <math>Q \in M</math> daraus folgt <math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von M<br />
	N ist konvex:<math>P \in g</math> und <math>Q \in g</math> daraus folgt		N ist konvex:<math>P \in N</math> und <math>Q \in N</math> daraus folgt
	<math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von N<br />		<math>\overline{PQ}</math> ist Teilmenge von N<br />