Lösung von Aufg. 9.3 (SoSe 11) - Versionsgeschichte

Tutorin Anne am 14. Juni 2011 um 09:47 Uhr

2011-06-14T09:47:25Z

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Zeile 3:		Zeile 3:
	Wie die neue Definition heißt, haben wir in der Übung bespochen. Aus Zeitgründen dann jedoch die Auflösung des Beweises der Äquivalenz auf einen anderen Termin verschoben (durchaus verständlich). Ich möchte mich hier mal versuchen und eine Beweismöglichkeit darstellen. Vllt. kann ja der eine und der ander und die eine und die andere seinen/ihren Senf dazugeben.		Wie die neue Definition heißt, haben wir in der Übung bespochen. Aus Zeitgründen dann jedoch die Auflösung des Beweises der Äquivalenz auf einen anderen Termin verschoben (durchaus verständlich). Ich möchte mich hier mal versuchen und eine Beweismöglichkeit darstellen. Vllt. kann ja der eine und der ander und die eine und die andere seinen/ihren Senf dazugeben.
	<br />		<br />
	Defininition <math>\ AQ^{+}</math> nach II.5 (im folgenden als DefA für Definition alt): <math>\ AB^{+}: = \lbrace P \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, P, Q)\rbrace \cup \lbrace P \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, Q, P)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace </math>		Defininition <math>\ AQ^{+}</math> nach II.5 (im folgenden als DefA für Definition alt): <math>\ AQ^{+}: = \lbrace P \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, P, Q)\rbrace \cup \lbrace P \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, Q, P)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace </math>
	<br />		<br />
	Defininition <math>\ AQ^{+}</math> neu (im folgenden als DefN für Definition neu): <math>\ AQ := \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace</math>		Defininition <math>\ AQ^{+}</math> neu (im folgenden als DefN für Definition neu): <math>\ AQ := \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace</math>

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:55 Uhr

2011-06-11T21:55:19Z

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Zeile 66:		Zeile 66:
	\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation		\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation
	\|-		\|-
	\| 8 \|\| Für d0=0 gilt: X = Q und für \|QZ\| = \|QX\| gilt: Z <math>\equiv</math> X \|\| Axiom II.1, (2), (6)		\| 8 \|\| Für d0=0 gilt: X = Q und für d(QZ) = d(QX) gilt: Z <math>\equiv</math> X \|\| Axiom II.1, (2), (6) Anmerkung: ich konnte nicht in Abstandsschreibweise schreiben weil das wiki meint es müsste das vorherige dann rausstreichen
	\|-		\|-
	\| 9 \|\| Für <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> \|\| (5), (7), (8)		\| 9 \|\| Für <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> \|\| (5), (7), (8)

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:53 Uhr

2011-06-11T21:53:41Z

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Zeile 66:		Zeile 66:
	\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation		\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation
	\|-		\|-
	\| 8 \|\| Für d0=0 gilt: X = Q; für \|QZ\| = \|QX\| gilt: Z <math>\equiv</math> X \|\| Axiom II.1, (2), (6)		\| 8 \|\| Für d0=0 gilt: X = Q und für \|QZ\| = \|QX\| gilt: Z <math>\equiv</math> X \|\| Axiom II.1, (2), (6)
	\|-		\|-
	\| 9 \|\| Für <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> \|\| (5), (7), (8)		\| 9 \|\| Für <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> \|\| (5), (7), (8)

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:52 Uhr

2011-06-11T21:52:54Z

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Zeile 35:		Zeile 35:
	\| 4 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => <math>\exists AX</math> \|\| Def. Zwischenrelation, Voraussetzung		\| 4 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => <math>\exists AX</math> \|\| Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
	\|-		\|-
	\| 5 \|\| <math>\forall X: X \in QX \wedge X \in AQ</math> \|\| (1), (2), (3), (4)		\| 5 \|\| <math>\forall X: X \in \overline{QX} \wedge X \in AQ</math> \|\| (1), (2), (3), (4)
	\|-		\|-
	\| 6 \|\| wg. X <math>\neq</math> A: <math>A \not\in QX</math> \|\| (5)		\| 6 \|\| wg. X <math>\neq</math> A: <math>A \not\in QX</math> \|\| (5)
Zeile 66:		Zeile 66:
	\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation		\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation
	\|-		\|-
	\| 8 \|\| Für d0=0 gilt: X = Q \|\| Axiom II.1, (2)		\| 8 \|\| Für d0=0 gilt: X = Q; für \|QZ\| = \|QX\| gilt: Z <math>\equiv</math> X \|\| Axiom II.1, (2), (6)
	\|-		\|-
	\| 9 \|\| Für <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> \|\| (5), (7), (8)		\| 9 \|\| Für <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> gilt: <math>\ X \in M</math> \|\| (5), (7), (8)

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:45 Uhr

2011-06-11T21:45:44Z

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Zeile 62:		Zeile 62:
	\| 5 \|\| Zw(A, X, Q) \|\| (4), Hilfssatz I		\| 5 \|\| Zw(A, X, Q) \|\| (4), Hilfssatz I
	\|-		\|-
	\| 6 \|\| Sei Z ein Punkt der Geraden AQ für den gilt: Zw(A, Q, Z) <math>\exists X \in \ QZ^{+}: \|QX\| = d0 \~~wedge~~ \|QX\| = d \~~wedge~~ \|QX\| = d2 </math> \|\| Axiom vom Lineal, (1), (2), (3)		\| 6 \|\| Sei Z ein Punkt der Geraden AQ für den gilt: Zw(A, Q, Z) <math>\exists X \in \ QZ^{+}: \|QX\| = d0 \vee \|QX\| = d \vee \|QX\| = d2 </math> \|\| Axiom vom Lineal, (1), (2), (3)
	\|-		\|-
	\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation		\| 7 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => Zw(A, Q, X)\|\| (6), Def. Zwischenrelation

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:43 Uhr

2011-06-11T21:43:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juni 2011, 21:43 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
	<br />		<br />
	Beweis: "<="		Beweis: "<="
	~~<br />~~
	~~Voraussetzung: <math>\ X \in M: \lbrace X \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, X, Q)\rbrace \cup \lbrace X \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, Q, X)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace </math>~~
	~~<br />~~
	~~Behauptung: <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math>~~
	<br />		<br />
	<br />		<br />

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:40 Uhr

2011-06-11T21:40:19Z

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 | 2 || <math>\forall X \in  M : X \in AQ</math> || Axiom I.2, (1)
 |-
-| 3 || |AX| + |XQ| = |AQ| => <math>X \in \overline{AQ} \\{A, Q}</math> || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
+| 3 || |AX| + |XQ| = |AQ| => <math>X \in \overline{AQ}</math> \ <math>\lbrace A, Q\rbrace </math> || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
 |-
 | 4 || |AQ| + |QX| = |AX| => <math>\exists AX</math>  || Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 In Beweisschritt 2 schauts da allerdings etwas anders aus:
 <br />
-Beweis
+Beweis: "<="
 [[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

HecklF am 11. Juni 2011 um 21:08 Uhr

2011-06-11T21:08:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juni 2011, 21:08 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade <math>\ AQ^{+}</math> und <math>\ AQ^{-}</math>. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken_%28SoSe_11%29#Definition_II.5:_.28Halbgerade.2C_bzw._Strahl.29 \| Definition II.5] äquivalent sind.		Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade <math>\ AQ^{+}</math> und <math>\ AQ^{-}</math>. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken_%28SoSe_11%29#Definition_II.5:_.28Halbgerade.2C_bzw._Strahl.29 \| Definition II.5] äquivalent sind.

			Wie die neue Definition heißt, haben wir in der Übung bespochen. Aus Zeitgründen dann jedoch die Auflösung des Beweises der Äquivalenz auf einen anderen Termin verschoben (durchaus verständlich). Ich möchte mich hier mal versuchen und eine Beweismöglichkeit darstellen. Vllt. kann ja der eine und der ander und die eine und die andere seinen/ihren Senf dazugeben.
			<br />
			Defininition <math>\ AQ^{+}</math> nach II.5 (im folgenden als DefA für Definition alt): <math>\ AB^{+}: = \lbrace P \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, P, Q)\rbrace \cup \lbrace P \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, Q, P)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace </math>
			<br />
			Defininition <math>\ AQ^{+}</math> neu (im folgenden als DefN für Definition neu): <math>\ AQ := \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace</math>
			<br />
			<br />
			Beweis über zwei Schritte: Schritt 1: "=>" Schritt 2: "<="
			<br />
			Es sei aufgrund der einfacheren Bearbeitung (man spart sich einen ganzen Beweisschritt) folgender Fall vorweggeschickt, der für bei Seiten gilt, wegen der Reflexivität der "="-Relation:
			<br />
			<br />
			Voraussetzung: <math>\ X \in M: \lbrace X \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, X, Q)\rbrace \cup \lbrace X \in AQ \| \operatorname(Zw) (A, Q, X)\rbrace \cup \lbrace A, Q \rbrace </math>
			<br />
			Behauptung: <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math>
			<br />
			<br />
			Fall 1: X = A => Da A in beiden Fällen als einzelne Menge vereinigt wird ist dieser Fall trivial.
			<br />
			Fall 2 <math>X \neq A</math> <br />
			<br />
			Beweis "=>"
			<br />
			<br />
			{\| class="wikitable"
			\|-
			\| 1 \|\| Es gilt: koll(A, Q, X) \|\| Voraussetzung, Zwischenrelationdefinition
			\|-
			\| 2 \|\| <math>\forall X \in M : X \in AQ</math> \|\| Axiom I.2, (1)
			\|-
			\| 3 \|\| \|AX\| + \|XQ\| = \|AQ\| => <math>X \in \overline{AQ} \\{A, Q}</math> \|\| Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
			\|-
			\| 4 \|\| \|AQ\| + \|QX\| = \|AX\| => <math>\exists AX</math> \|\| Def. Zwischenrelation, Voraussetzung
			\|-
			\| 5 \|\| <math>\forall X: X \in QX \wedge X \in AQ</math> \|\| (1), (2), (3), (4)
			\|-
			\| 6 \|\| wg. X <math>\neq</math> A: <math>A \not\in QX</math> \|\| (5)
			\|-
			\| 7 \|\| <math>\ X \in \{P \in AQ\|\overline{QP} \in AQ \wedge A \not\in \overline{QP} \} \cup \lbrace A\rbrace </math> \|\| (6)
			\|}
			<br />
			Irgendwie schaut das noch wie ein riesengroßes gewurschtel aus und sicher bin ich mir keineswegs.
			<br />
			In Beweisschritt 2 schauts da allerdings etwas anders aus:
			<br />
			Beweis

	[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]		[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade $\ AQ^{+}$ und $\ AQ^{-}$ . In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation …“

2011-05-31T12:29:11Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade <math>\ AQ^{+}</math> und <math>\ AQ^{-}</math>. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation …“

Neue Seite

Definieren Sie noch einmal die Begriffe Halbgerade <math>\ AQ^{+}</math> und <math>\ AQ^{-}</math>. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken_%28SoSe_11%29#Definition_II.5:_.28Halbgerade.2C_bzw._Strahl.29 | Definition II.5] äquivalent sind.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]