Lösung von Aufgabe 10.2 - Versionsgeschichte

Schnirch: /* Beweis Versuch 1 (verbessert): */

2010-07-21T13:00:28Z

Beweis Versuch 1 (verbessert):

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2010, 13:00 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			==Lösung--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 13:00, 21. Jul. 2010 (UTC)==
			Voraussetzung: <math> g \subset E </math>, <math>P \in g</math> <br />
			Behauptung: es gibt genau eine Gerade <math>\ s</math> durch <math>\ P</math>, die senkrecht auf <math>\ g</math> steht<br />

			{\| class="wikitable "
			\|+ Beweis
			! Nr.
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
			\| <math> \exists A: A\in g \and A \not= P </math>
			\| Axiom I.2
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\| <math> \exists Q: Q\notin g </math>
			\| Axiom I.3
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
			\| In <math>\ gQ^{+} </math> gibt es genau einen Strahl <math>\ h </math> mit Anfangspunkt <math>\ P </math> derart, dass <math>\ \| \angle PA^{+},h\| = 90 </math>
			\| Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
			\| Die Gerade <math>\ s </math> für die gilt: <math>\ h \subset s </math> ist die Senkrechte <math>\ s </math> durch <math>\ P </math>
			\| (III), (IV), Def. Senkrechte
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
			\| Die Senkrechte <math>\ s </math> ist eindeutig
			\| Eindeutigkeit des Strahls <math>\ h </math>
			\|}


			==vorangegangene Diskussion==
	== Beweis Versuch 1 (verbessert): ==		== Beweis Versuch 1 (verbessert): ==

Heinzvaneugen am 13. Juli 2010 um 13:07 Uhr

2010-07-13T13:07:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Juli 2010, 13:07 Uhr
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	== [[Beweis Versuch 1 (verbessert):]] ==		== Beweis Versuch 1 (verbessert): ==


Zeile 33:		Zeile 33:
	qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)		qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

	== [[Zweiter Beweisversuch]] (verbessert) ==		== Zweiter Beweisversuch (verbessert) ==

TimoRR: /* Zweiter Beweisversuch */

2010-07-06T14:51:35Z

Zweiter Beweisversuch

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2010, 14:51 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)		qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

	== [[Zweiter Beweisversuch]] ==		== [[Zweiter Beweisversuch]] (verbessert) ==


	Voraussetzung: g ~~Element E, s~~ Element E, P Element g		Voraussetzung: g Element E, P Element g
	Behauptung: s Element g und s senkrecht auf g		Behauptung: s Element g und s senkrecht auf g

Zeile 53:		Zeile 53:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\|\| Es existieren auf der Geraden g ein Punkt P1 auf PP1+ und ein Punkt P2 auf PP1- <br /> \|Winkel(XPP2)\| = \|Winkel(XPP1)\| = \|w\| mit w = 90		\|\| Es existieren auf der Geraden g ein Punkt P1 auf PP1+ und ein Punkt P2 auf PP1- <br /> \|Winkel(XPP2)\| = \|Winkel(XPP1)\| = \|w\| mit w = 90
	\| Definition V.6 (Rechter Winkel)		\| Definition V.6 (Rechter Winkel),<br />Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)

Löwenzahn: /* Beweis Versuch 1: */

2010-07-02T15:13:06Z

Beweis Versuch 1:

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2010, 15:13 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	== [[Beweis Versuch 1:]] ==		== [[Beweis Versuch 1 (verbessert):]] ==


	VSS: <math> g \subset E </math>, <math>P \in g</math> <br />		VSS: <math> g \subset E </math>, <math>P \in g</math> <br />
	Beh: es gibt genau eine Gerade s durch P, die senkrecht auf g steht<br />		Beh: es gibt genau eine Gerade <math>s</math> durch <math>P</math>, die senkrecht auf <math>g</math> steht<br />

	EXISTENZ		EXISTENZ
Zeile 13:		Zeile 13:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| in <math> g </math> ~~gibt es einen Strahl mit~~ <math> ~~{PB^{+}}~~ </math>		\| Es existiert ein Punkt <math> B \in E </math>, <math>P</math> ungleich <math>B</math>
	\| Axiom I.2 ~~und Def. Halbgerade~~		\| Axiom I.2
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| es existiert ~~genau~~ ein ~~Strahl~~ <math>~~{PC^{+}}~~</math> ~~in der Halbebene~~ <math>~~{gC~~^{+}~~}</math> mit <math>~~\| \angle ~~CPB~~\| = 90 </math>		\| es existiert ein Punkt <math> Q \in E</math>, Q nicht Element g
	\| Winkelkonstruktionsaxiom, (I)		\|
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\| es existiert ein Punkt <math> C\in gQ^{+}: \| \angle PB^{+},PC^{+}\| = 90 </math>
			\| Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| es exisitiert genau eine Gerade s durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>		\| es exisitiert genau eine Gerade <math> s </math> durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>
	\| Axiom I.1, (II)		\| Axiom I.1, (II)
	\|}		\|}

	EINDEUTIGKEIT		EINDEUTIGKEIT
	Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, ~~die~~ die Eindeutigkeit bereits gezeigt.<br />		Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, ist die Eindeutigkeit bereits gezeigt.<br />
	qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)		qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)


	== [[Zweiter Beweisversuch]] ==		== [[Zweiter Beweisversuch]] ==

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

2010-07-02T14:01:04Z

Zweiter Beweisversuch

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2010, 14:01 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:

	# Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. Dementsprechend sollte die Gerade <math>\ s</math> nicht in den Voraussetzungen auftauchen.		# Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. Dementsprechend sollte die Gerade <math>\ s</math> nicht in den Voraussetzungen auftauchen.
	# Nur mittels einer Definition wird man eine Existenzaussage nicht begründen können. Definitionen mögen zwar alles mögliche festlegen können, ob die Dinge dann auch existieren steht auf einem anderen Blatt. Wir hätten sonst auch beweisen können: Behauptung: Es existieren rechte Winkel. Begründung: Weil rechte Winkel definiert ~~wurde~~ müssen sie auch existieren.		# Nur mittels einer Definition wird man eine Existenzaussage nicht begründen können. Definitionen mögen zwar alles mögliche festlegen können, ob die Dinge dann auch existieren steht auf einem anderen Blatt. Wir hätten sonst auch beweisen können: Behauptung: Es existieren rechte Winkel. Begründung: Weil rechte Winkel definiert wurden müssen sie auch existieren.

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

2010-07-02T14:00:19Z

Zweiter Beweisversuch

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2010, 14:00 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:

	Kommentar --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 2. Jul. 2010 (UTC):		Kommentar --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 2. Jul. 2010 (UTC):
	Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. Dementsprechend sollte die Gerade <math>\ s</math> nicht in den Voraussetzungen auftauchen
			# Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. Dementsprechend sollte die Gerade <math>\ s</math> nicht in den Voraussetzungen auftauchen.
			# Nur mittels einer Definition wird man eine Existenzaussage nicht begründen können. Definitionen mögen zwar alles mögliche festlegen können, ob die Dinge dann auch existieren steht auf einem anderen Blatt. Wir hätten sonst auch beweisen können: Behauptung: Es existieren rechte Winkel. Begründung: Weil rechte Winkel definiert wurde müssen sie auch existieren.

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

2010-07-02T13:53:03Z

Zweiter Beweisversuch

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2010, 13:53 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:

	Kommentar --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 2. Jul. 2010 (UTC):		Kommentar --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 2. Jul. 2010 (UTC):
	Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. ~~Demenstprechend~~ sollte die ~~gerade~~ nicht in den Voraussetzungen auftauchen		Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. Dementsprechend sollte die Gerade <math>\ s</math> nicht in den Voraussetzungen auftauchen

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

2010-07-02T13:51:59Z

Zweiter Beweisversuch

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2010, 13:51 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.		Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.
	Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.		Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.

			Kommentar --[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 13:51, 2. Jul. 2010 (UTC):
			Die Gerade <math>\ s</math> wird mittels des Winkelkonstruktionsaxioms <u>im Laufe des Beweises</u> ''"generiert"''. Demenstprechend sollte die gerade nicht in den Voraussetzungen auftauchen

TimoRR: /* Zweiter Beweisversuch */

2010-07-01T23:15:05Z

Zweiter Beweisversuch

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2010, 23:15 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90.		Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90.
	Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.		Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.
	Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht.		Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht, da beim Schnitt ein rechter Winkel enstehen muss, der mit der Größe 90 nur einmalig existiert.

TimoRR am 1. Juli 2010 um 23:13 Uhr

2010-07-01T23:13:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2010, 23:13 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, die die Eindeutigkeit bereits gezeigt.<br />		Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade gibt, die die Eindeutigkeit bereits gezeigt.<br />
	qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)		qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:14, 1. Jul. 2010 (UTC)


			== [[Zweiter Beweisversuch]] ==


			Voraussetzung: g Element E, s Element E, P Element g
			Behauptung: s Element g und s senkrecht auf g

			Existenz:
			{\| class="wikitable center"
			\|+ Es gibt eine Gerade s Element, die durch den Punkt P geht und senkrecht auf g steht
			\|- style="background: #DDFFDD;"
			!
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
			\| Es existiert ein X Element E mit der Eigenschaft, dass X Element S und X Element PX+
			\| Axiom I.2 (Gerade hat mindestens 2 Punkte)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\|\| Es existieren auf der Geraden g ein Punkt P1 auf PP1+ und ein Punkt P2 auf PP1- <br /> \|Winkel(XPP2)\| = \|Winkel(XPP1)\| = \|w\| mit w = 90
			\| Definition V.6 (Rechter Winkel)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
			\| s steht senkrecht auf g
			\| (II), Definition V.8 (Relation senkrecht)
			\|}

			Eindeutigkeit:
			Nach Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 gibt es in jeder Halbebene genau nur einen Strahl mit\|w\|=\|Winkel(XPP2)\| bzw. \|w\| = \|Winkel(XPP1)\|
			Nach Winkelmaßaxiom IV.1 gibt es für w genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180.
			Nach der Definition V.6, Satz V.3 und Satz V.4 gibt es rechte Winkel mit der Größe 90.
			Nach Definition V.8 ist eine Gerade dann senkrecht auf der anderen, wenn bei dem Schnitt der beiden rechte Winkel enstehen.
			Somit kann es nur einen Strahl geben in jeder Halbebene, der Senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht.

Lösung von Aufgabe 10.2 - Versionsgeschichte

Schnirch: /* Beweis Versuch 1 (verbessert): */

Heinzvaneugen am 13. Juli 2010 um 13:07 Uhr

TimoRR: /* Zweiter Beweisversuch */

Löwenzahn: /* Beweis Versuch 1: */

*m.g.*: /* Zweiter Beweisversuch */

*m.g.*: /* Zweiter Beweisversuch */

*m.g.*: /* Zweiter Beweisversuch */

*m.g.*: /* Zweiter Beweisversuch */

TimoRR: /* Zweiter Beweisversuch */

TimoRR am 1. Juli 2010 um 23:13 Uhr

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */

m.g.: /* Zweiter Beweisversuch */