Lösung von Aufgabe 11.3 - Versionsgeschichte

Heinzvaneugen: /* Lösung 2 */

2010-07-11T19:29:12Z

Lösung 2

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2010, 19:29 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:
	o.B.d.A.		o.B.d.A.
	<br />		<br />
	Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> (aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente ~~Dreieck~~		Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> (aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente Dreiecke.
	<br />		<br />
	Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt.		Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt.
	(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?		<br />(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?
	<br />		<br />
	Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:		Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:

Sternchen am 8. Juli 2010 um 20:13 Uhr

2010-07-08T20:13:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2010, 20:13 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	:Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:		:Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
	::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand.		::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand.
			:::''Nachtrag: Inzwischen haben wir ja das [[Der_Basiswinkelsatz#Satz_VII.6:_.28Mittelsenkrechtenkriterium.29\|Mittelsenkrechtenkriterium]] gemacht, was genau das aussagt.''
	:<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ \|AC\| = \|AP\|</math>.		:<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ \|AC\| = \|AP\|</math>.
	:Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ \|BC\| = \|BP\|</math>.		:Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ \|BC\| = \|BP\|</math>.

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 16:00 Uhr

2010-07-07T16:00:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 16:00 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	o.B.d.A.		o.B.d.A.
	<br />		<br />
	Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, ~~dadurch~~ kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> ~~nachweisen~~.		Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> (aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente Dreieck
	<br />		<br />
			Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt.
	(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?		(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?
	<br />		<br />
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	[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />		[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />
			<br />

			[[Bild:Geo_Übung_11_3_Hilfskonstr.png\|600px]]<br />
	<br />		<br />
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:53 Uhr

2010-07-07T14:53:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:53 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	o.B.d.A.		o.B.d.A.
	<br />		<br />
	Diese Begründung kann analog an Punkt B, zw. Punkt C durchgeführt werden, dadurch kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> nachweisen.		Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dadurch kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> nachweisen.
	<br />		<br />
	~~zu den Scheitelwinkel~~(*):		(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?
	Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:		<br />
			Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
	* Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math>		* Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math>
	* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>		* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:51 Uhr

2010-07-07T14:51:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:51 Uhr
Zeile 86:		Zeile 86:
	\|-		\|-
	\|}		\|}
			<br />
			o.B.d.A.
			<br />
			Diese Begründung kann analog an Punkt B, zw. Punkt C durchgeführt werden, dadurch kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> nachweisen.
			<br />
	zu den Scheitelwinkel(*):		zu den Scheitelwinkel(*):
	Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:		Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:48 Uhr

2010-07-07T14:48:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:48 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	\| 1b \|\| Es existiert ein Punkt <math>B_2</math> für den gilt <math>\overline{AB_2} = \overline{AB_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{B_1B_2}</math> <br />Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)		\| 1b \|\| Es existiert ein Punkt <math>B_2</math> für den gilt <math>\overline{AB_2} = \overline{AB_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{B_1B_2}</math> <br />Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
	\|-		\|-
	\| 2 \|\| <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>\|\| ~~Wechselwinkel~~ (*)		\| 2 \|\| <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>\|\| Scheitelwinkel(*)
	\|-		\|-
	\| 3 \|\| <math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>\|\| Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz		\| 3 \|\| <math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>\|\| Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz
Zeile 87:		Zeile 87:
	\|}		\|}

	zu den ~~Wechselwinkeln~~ (*):		zu den Scheitelwinkel(*):
	Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:		Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
	* Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math>		* Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math>

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:42 Uhr

2010-07-07T14:42:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:42 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:

	= Lösung 2 =		= Lösung 2 =
			Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich <math>C_2</math> statt <math>C_3</math> heißen.
			<br />
	Vor.:		Vor.:
	:<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math>		:<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math>
Zeile 81:		Zeile 82:
	\|-		\|-
	\| 2 \|\| <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>\|\| Wechselwinkel (*)		\| 2 \|\| <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>\|\| Wechselwinkel (*)
			\|-
			\| 3 \|\| <math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>\|\| Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz
	\|-		\|-
	\|}		\|}

	zu den Wechselwinkeln (*):		zu den Wechselwinkeln (*):
	Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform:		Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
	* Vor: <math>\alpha_1, \alpha_2, \delta_1, \delta_2 </math>		* Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math>
	* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>		* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>
			* Schritt 1a: <math>\|\alpha_1\| + \|\delta_1\| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>B_1B_2</math> sind supplementär.
			* Schritt 1b: <math>\|\alpha_1\| + \|\delta_2\| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>C_1C_2</math>sind supplementär.
			* Schritt 1c: <math>\|\alpha_2\| + \|\delta_2\| = 180 </math> analog zu 1a
			* Schritt 1d: <math>\|\alpha_2\| + \|\delta_1\| = 180 </math> analog zu 1b
			* Schritt 2: Algebraische Umformung
			**<math>\|\alpha_2\| + \|\delta_2\| = 180 </math>
			**<math>\|\alpha_2\| = 180 - \|\delta_2\|</math>
			**<math>\|\alpha_1\| + \|\delta_2\| = 180 </math>
			**<math>\|\alpha_1\| = 180 - \|\delta_2\|</math>
			* Schritt 3: <math>\|\alpha_1\| = \|\alpha_2\|</math>

	* Element B
	* Element C
	[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />		[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />
	<br />		<br />
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:17 Uhr

2010-07-07T14:17:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:17 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	\| No. \|\| Schritt \|\| Begründung		\| No. \|\| Schritt \|\| Begründung
	\|-		\|-
	\| 1 \|\| Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math>		\| 1a \|\| Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math> <br />Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
			\|-
			\| 1b \|\| Es existiert ein Punkt <math>B_2</math> für den gilt <math>\overline{AB_2} = \overline{AB_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{B_1B_2}</math> <br />Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
	\|-		\|-
	\| 2 \|\| ~~Schritt~~ \|\| ~~Begründung~~		\| 2 \|\| <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>\|\| Wechselwinkel (*)
	\|-		\|-
	\|}		\|}

			zu den Wechselwinkeln (*):
			Hatten wir das schon bewiesen? Hier in Kurzform:
			* Vor: <math>\alpha_1, \alpha_2, \delta_1, \delta_2 </math>
			* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>

			* Element B
			* Element C
	[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />		[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />
	<br />		<br />
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:07 Uhr

2010-07-07T14:07:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:07 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	:<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>		:<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>
	<br />		<br />
	~~[[Bild:Geo_Übung_11_3.png]]<br />~~
	~~<br />~~


Zeile 84:		Zeile 83:
	\|-		\|-
	\|}		\|}

			[[Bild:Geo_Übung_11_3.png\|600px]]<br />
			<br />
			--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 14:05 Uhr

2010-07-07T14:05:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 14:05 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	:<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>		:<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>
	<br />		<br />
	[[Bild:Geo_Übung_11_3.png~~\|400px~~]]<br />		[[Bild:Geo_Übung_11_3.png]]<br />
	<br />		<br />

Zeile 77:		Zeile 77:
	\| No. \|\| Schritt \|\| Begründung		\| No. \|\| Schritt \|\| Begründung
	\|-		\|-
	\| 1 \|\| Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>\A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math>		\| 1 \|\| Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> \|\|Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math>