Lösung von Aufgabe 11.4 - Versionsgeschichte

Schnirch am 26. Juli 2010 um 15:10 Uhr

2010-07-26T15:10:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Juli 2010, 15:10 Uhr
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	::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.		::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

			==Lösung --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 15:10, 26. Jul. 2010 (UTC)==
			Ich möchte an dieser Stelle nochmal kurz die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung an einem alltäglichen Beispiel erläutern:
			Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
			Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
			Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
			Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
			Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
			Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

			In unserer Aufgabe ist Satz VII.6 das Mittelsenkrechtenkriterium, dass die beiden Sätze VII.6a und VII.6b (Umkehrung von Satz VII.6a) beinhaltet.

			==vorangegangene Diskussion==

	== Versuch 1: ==		== Versuch 1: ==

Heinzvaneugen: /* Versuch 2: */

2010-07-07T16:48:16Z

Versuch 2:

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 16:48 Uhr
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	Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt: bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.		Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt: bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.
	Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:		Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:
	<br /> aus A folgt B ~~und~~ '''~~nur~~''' aus B folgt A.		<br /> aus A folgt B '''und''' aus B folgt A.
	<br />		<br />
	Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>		Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen: /* Versuch 2: */

2010-07-07T16:44:44Z

Versuch 2:

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 16:44 Uhr
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	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==
	(siehe Diskussion)		(siehe Diskussion)
	Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.		Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt: bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.
	Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:		Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:
	<br /> aus A folgt B '''~~und~~''' aus B folgt A.		<br /> aus A folgt B und '''nur''' aus B folgt A.
	<br />		<br />
	Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>		Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 16:27 Uhr

2010-07-07T16:27:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 16:27 Uhr
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	Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.		Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.

	~~===~~ Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ~~===~~
			* Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.)
	::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.		::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

	~~===~~ Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)~~===~~		* Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)
	::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.		::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

	~~===~~ Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ~~===~~		* Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
	::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.		::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 16:26 Uhr

2010-07-07T16:26:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 16:26 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.		Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.

	===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====		=== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ===
	::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.		::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

	===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====		=== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)===
	::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.		::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

	===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====		=== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ===
	::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.		::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Heinzvaneugen am 7. Juli 2010 um 16:25 Uhr

2010-07-07T16:25:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juli 2010, 16:25 Uhr
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			Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.

			===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
			::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

			===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
			::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

			===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
			::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.


	== Versuch 1: ==		== Versuch 1: ==

	Satz VII.6 ist ein Kriterium. Ein Kriterium muss hinreichende und notwendige Bedingungen erfüllen. Diese Äquivalenz ist durch die jeweiligen Implikationen (Ist das Wort richtig? Ich meine damit die "Hin"- und "Rückrichtung" des Satzes.)in den Sätzen VII.6a und VII.6b gezeigt. Somit ist auch der Satz VII.6 bewiesen.--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:46, 4. Jul. 2010 (UTC)		Satz VII.6 ist ein Kriterium. Ein Kriterium muss hinreichende und notwendige Bedingungen erfüllen. Diese Äquivalenz ist durch die jeweiligen Implikationen (Ist das Wort richtig? Ich meine damit die "Hin"- und "Rückrichtung" des Satzes.)in den Sätzen VII.6a und VII.6b gezeigt. Somit ist auch der Satz VII.6 bewiesen.--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:46, 4. Jul. 2010 (UTC)


			== Versuch 2: ==
			(siehe Diskussion)
			Satz VII.6 stellt eine Äquivalenzrelation dar. Satz VII.6.a ist die hinreichende Bedingung, das heißt bis wir Satz VII.6.b bewiesen hatten, konnten wir nicht sagen, ob es nicht doch Punkte gibt auf der Mittelsenkrechten, für die NICHT gilt, dass sie den selben Abstand zu den Endpunkten der Strecke gehören.
			Das klingt nach einfacher Aussagenlogik. Bei einer Äquivalenzrelation (und nur dann) gilt:
			<br /> aus A folgt B '''und''' aus B folgt A.
			<br />
			Wenn gilt <math>A \rightarrow B </math> und <math>B \rightarrow A </math>, heißt das <math>A \leftrightarrow B </math>
			--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 16:25, 7. Jul. 2010 (UTC)

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: == Versuch 1: == Satz VII.6 ist ein Kriterium. Ein Kriterium muss hinreichende und notwendige Bedingungen erfüllen. Diese Äquivalenz ist durch die jeweiligen Implika...

2010-07-04T11:46:21Z

Die Seite wurde neu angelegt: == Versuch 1: == Satz VII.6 ist ein Kriterium. Ein Kriterium muss hinreichende und notwendige Bedingungen erfüllen. Diese Äquivalenz ist durch die jeweiligen Implika...

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== Versuch 1: ==

Satz VII.6 ist ein Kriterium. Ein Kriterium muss hinreichende und notwendige Bedingungen erfüllen. Diese Äquivalenz ist durch die jeweiligen Implikationen (Ist das Wort richtig? Ich meine damit die "Hin"- und "Rückrichtung" des Satzes.)in den Sätzen VII.6a und VII.6b gezeigt. Somit ist auch der Satz VII.6 bewiesen.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:46, 4. Jul. 2010 (UTC)