Lösung von Aufgabe 11.7 - Versionsgeschichte

Heinzvaneugen am 12. Juli 2010 um 01:04 Uhr

2010-07-12T01:04:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Juli 2010, 01:04 Uhr
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	'''''Nein, Satz: Ist SP<sup>+</sup> ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke <math>\overline{AB}</math>. vgl. Aufgabe Tutorium 12 '''''--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC)		'''''Nein, Satz: Ist SP<sup>+</sup> ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke <math>\overline{AB}</math>. vgl. Aufgabe Tutorium 12 '''''--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)		\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(~~VII~~)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
	\| <math> \overline{AS} \cong \overline{BS}</math>		\| <math> \overline{AS} \cong \overline{BS}</math>
	\| Dreieckskongruenz: (VI)		\| Dreieckskongruenz: (V)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(~~VIII~~)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
	\| <math> S \equiv M</math>		\| <math> S \equiv M</math>
	\| (~~VII~~), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: <math> \overline{AM} \cong \overline{BM}</math>		\| (VI), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: <math> \overline{AM} \cong \overline{BM}</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
	\| <math> \|\delta_1\| = \|\delta_2\| = 90</math>		\| <math> \|\delta_1\| = \|\delta_2\| = 90</math>
	\| Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel		\| Dreieckskongruenz: (V), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(X)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
	\| <math> m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow</math> Widerspruch zu Annahme!		\| <math> m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow</math> Widerspruch zu Annahme!
	\| (~~VIII~~), (IX), (III), (VSS)		\| (VII), (VIII), (III), (VSS)
	\|}		\|}
	<br />Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.		<br />Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
	<br />[[Bild:Skizze_Übung_11_7.png\|800px]]		<br />[[Bild:Skizze_Übung_11_7.png\|800px]]
	<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)		<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

Barbarossa: /* Versuch 1: */

2010-07-11T13:58:09Z

Versuch 1:

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2010, 13:58 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:

	"Wenn ein Winkel das gleiche Maß hat, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist es ein rechter Winkel" (Def. rechter Winkel). Diese Bedingung ist ja durch Schritt (V) erfüllt. Meinst du trotzdem, dass es notwendig ist, nochmal darauf hinzuweisen? --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 10:34, 11. Jul. 2010 (UTC)		"Wenn ein Winkel das gleiche Maß hat, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist es ein rechter Winkel" (Def. rechter Winkel). Diese Bedingung ist ja durch Schritt (V) erfüllt. Meinst du trotzdem, dass es notwendig ist, nochmal darauf hinzuweisen? --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 10:34, 11. Jul. 2010 (UTC)

			Ich denke schon, bin mir da aber auch immer unsicher. Manchmal müssen wir ganz genau sein und ein anderes Mal ist es wieder egal... --[[Benutzer:Barbarossa\|Barbarossa]] 13:58, 11. Jul. 2010 (UTC)

	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==

Löwenzahn: /* Versuch 1: */

2010-07-11T10:34:58Z

Versuch 1:

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2010, 10:34 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	\|}		\|}
	--> <math>P \in m </math>, die Behauptung ist wahr.<br /> qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)<br />		--> <math>P \in m </math>, die Behauptung ist wahr.<br /> qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)<br />

	Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br />		Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br />
	--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)
Zeile 46:		Zeile 47:
	Müsste man nicht noch einen Zwischenschritt einschieben und schreiben, wie man von den beiden kongruenten Winkeln in (V) zu <math> PM = m </math> in (VI) kommt?		Müsste man nicht noch einen Zwischenschritt einschieben und schreiben, wie man von den beiden kongruenten Winkeln in (V) zu <math> PM = m </math> in (VI) kommt?
	Ich meine, dass es sich wegen der Definition von rechten Winkeln um solche handelt, wodurch ja erst der zweite Aspekt für die Mittelsenkrechte (siehe deren Definition) gegeben ist. --[[Benutzer:Barbarossa\|Barbarossa]] 10:16, 11. Jul. 2010 (UTC)		Ich meine, dass es sich wegen der Definition von rechten Winkeln um solche handelt, wodurch ja erst der zweite Aspekt für die Mittelsenkrechte (siehe deren Definition) gegeben ist. --[[Benutzer:Barbarossa\|Barbarossa]] 10:16, 11. Jul. 2010 (UTC)

			"Wenn ein Winkel das gleiche Maß hat, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist es ein rechter Winkel" (Def. rechter Winkel). Diese Bedingung ist ja durch Schritt (V) erfüllt. Meinst du trotzdem, dass es notwendig ist, nochmal darauf hinzuweisen? --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 10:34, 11. Jul. 2010 (UTC)

	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==

Barbarossa: /* Versuch 1: */

2010-07-11T10:16:29Z

Versuch 1:

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2010, 10:16 Uhr
Zeile 43:		Zeile 43:

	Die Winkel <math>alpha</math> und <math>beta</math> entsprechen den Winkel <math>\angle PAB</math> und <math>\angle ABP</math>. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)		Die Winkel <math>alpha</math> und <math>beta</math> entsprechen den Winkel <math>\angle PAB</math> und <math>\angle ABP</math>. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)

			Müsste man nicht noch einen Zwischenschritt einschieben und schreiben, wie man von den beiden kongruenten Winkeln in (V) zu <math> PM = m </math> in (VI) kommt?
			Ich meine, dass es sich wegen der Definition von rechten Winkeln um solche handelt, wodurch ja erst der zweite Aspekt für die Mittelsenkrechte (siehe deren Definition) gegeben ist. --[[Benutzer:Barbarossa\|Barbarossa]] 10:16, 11. Jul. 2010 (UTC)

	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==

Löwenzahn: /* Versuch 1: */

2010-07-10T15:27:40Z

Versuch 1:

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2010, 15:27 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br />		Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br />
	--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)

			Die Winkel <math>alpha</math> und <math>beta</math> entsprechen den Winkel <math>\angle PAB</math> und <math>\angle ABP</math>. Die Kongruenz dieser Winkel ist nötig, um den Satz über SWS zu beweisen. Wenn du den Satz über SSS beweist, dann brauchst du die Winkel logischer Weise nicht. --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 15:27, 10. Jul. 2010 (UTC)

	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==

Tja???: /* Versuch 2: */

2010-07-10T13:13:35Z

Versuch 2:

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2010, 13:13 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	\| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math>		\| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math>
	\| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)		\| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
			'''''Nein, Satz: Ist SP<sup>+</sup> ein Strahl im Inneren des Winkels <ASB, so schneidet er die Strecke <math>\overline{AB}</math>. vgl. Aufgabe Tutorium 12 '''''--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:13, 10. Jul. 2010 (UTC)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
	\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>		\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
	\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)

Tja???: /* Versuch 1: */

2010-07-10T13:06:05Z

Versuch 1:

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2010, 13:06 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| es existiert ein Punkt <math> M : \|AM\| = \|BM\|</math>		\| es existiert ein Punkt <math> M : \|AM\| = \|BM\|</math>
	\| (Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt)		\| Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt (I)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
Zeile 38:		Zeile 38:
	\| (Axiom I.1), (II), (V)		\| (Axiom I.1), (II), (V)
	\|}		\|}
	--> <math>P \in m </math>, die Behauptung ist wahr.<br /> qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)		--> <math>P \in m </math>, die Behauptung ist wahr.<br /> qed --[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)<br />
			Welches Winkel sind <math>alpha</math> und <math>beta</math> und welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass der Basiswinkelsatz überhaupt angewandt werden kann? Schritt 3 muss nochmal überprüft werden! Ist ein kongruenter Winkel überhaupt nötig? Warum nicht der Kongruentssatz SSS?<br />
			--[[Benutzer:Tja???\|Tja???]] 13:06, 10. Jul. 2010 (UTC)

	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==

Heinzvaneugen: /* Versuch 2: */

2010-07-10T12:21:47Z

Versuch 2:

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2010, 12:21 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:
	\|}		\|}
	<br />Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.		<br />Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
	<br />[[Bild:Skizze_Übung_11_7.png]]		<br />[[Bild:Skizze_Übung_11_7.png\|800px]]
	<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)		<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 10. Juli 2010 um 12:19 Uhr

2010-07-10T12:19:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2010, 12:19 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:

	== Versuch 2: ==		== Versuch 2: ==
	VSS: Punkt P, <math> \overline{AB} </math>, <math> \|AP\| = \|BP\| </math>, Mittelsenkrechte m ~~<br /> (~~für die gilt laut Definition: senkrecht zu <math> \overline{AB} </math> und geht durch <math> M \in \overline{AB} </math> ~~für das~~ gilt: <math> \|MA\| = \|MB\| </math>		VSS:
	~~Beh~~: <math> P \notin m </math>		*Punkt P, Strecke <math> \overline{AB} </math>, es gilt <math> \|AP\| = \|BP\| </math>
			*Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu <math> \overline{AB} </math> und geht durch <math> M \in \overline{AB} </math> und es gilt: <math> \|MA\| = \|MB\| </math>
			<br />Behauptung: <math> P \in m </math>
			<br />Annahme (indirekter Beweis): <math> P \notin m </math>

	{\| class="wikitable "		{\| class="wikitable "
	~~\|+ Beweis~~
	! Nr.		! Nr.
	! Beweisschritt		! Beweisschritt
Zeile 68:		Zeile 70:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
	\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>		\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>
	\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math>		\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math> (III)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
	\|		\| <math> \overline{AS} \cong \overline{BS}</math>
	\|		\| Dreieckskongruenz: (VI)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
			\| <math> S \equiv M</math>
			\| (VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: <math> \overline{AM} \cong \overline{BM}</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
			\| <math> \|\delta_1\| = \|\delta_2\| = 90</math>
			\| Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
			\| <math> m \equiv w \rightarrow P \in m \rightarrow</math> Widerspruch zu Annahme!
			\| (VIII), (IX), (III), (VSS)
	\|}		\|}
			<br />Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
			<br />[[Bild:Skizze_Übung_11_7.png]]
			<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 10. Juli 2010 um 11:38 Uhr

2010-07-10T11:38:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2010, 11:38 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| Das Dreieck <math> \overline{ABP} </math> ist ~~ein gleichschenkliges~~		\| Das Dreieck <math> \overline{ABP} </math> ist gleichschenklig
	\| (Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS <math> \|AP\| = \|BP\| </math>)		\| Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS <math> \|AP\| = \|BP\| </math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
Zeile 63:		Zeile 63:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math>~~, der~~		\| Die Winkelhalbierende w und die Strecke <math>\overline {AB}</math> schneiden sich in <math>S</math>
	\| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)		\| ... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
	\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>		\| <math> \overline{APS} \cong \overline{BPS}</math>
	\| SWS: <math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math>		\| SWS: <br /><math> \overline{AP}\cong \overline{BP}</math> (VSS) <br /> <math> \overline{PS}\cong \overline{PS}</math> (trivial) <br /><math> \delta_1 \cong \delta_2</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
			\|
			\|
	\|}		\|}