Lösung von Aufgabe 12.10 - Versionsgeschichte

Heinzvaneugen am 19. Juli 2010 um 15:49 Uhr

2010-07-19T15:49:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2010, 15:49 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	== Lösung 1 ==		== Lösung 1 ==
	VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \\| b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br />		VSS: Gerade <math> \ a,b,c </math>, <math> \ a \\| b </math>, <math> \ c </math> schneidet <math> \ a </math> und <math> \ b </math><br />
	Beh: <math> \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />		Beh: <math> \ \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />
	ANN: <math>\| \beta \|~~</math> > <math~~>\| \alpha \| </math><br />		ANN: <math> \ \|\beta\| > \|\alpha\|</math><br />

	{\| class="wikitable "		{\| class="wikitable "
Zeile 15:		Zeile 15:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c einen Winkel mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math> bildet		\| das Maß <math> \ \|\alpha\|</math> im Scheitelpunkt <math> \ S</math> von <math> \ \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \ \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math> \ {SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf <math> \ c</math> einen Winkel mit dem Winkelmaß <math> \ \|\alpha'\|</math> bildet
	\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)		\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| <math> \alpha \cong {\alpha^{'}} </math>, es sind Stufenwinkel		\| <math> \alpha \cong \alpha'</math>, es sind Stufenwinkel
	\| (I), (Def. Stufenwinkel)		\| (I), (Def. Stufenwinkel)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-16T16:51:38Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2010, 16:51 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| <math> \alpha \cong {\alpha^{'}} </math>		\| <math> \alpha \cong {\alpha^{'}} </math>, es sind Stufenwinkel
	\| (I), (Def. Stufenwinkel)		\| (I), (Def. Stufenwinkel)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-16T16:49:17Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2010, 16:49 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c einen Winkel ~~bildet~~ mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math> ~~hat~~		\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c einen Winkel mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math> bildet
	\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)		\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-16T16:48:53Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2010, 16:48 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c ~~das~~ Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math> hat		\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c einen Winkel bildet mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math> hat
	\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)		\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-16T16:48:09Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juli 2010, 16:48 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math>		\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> der mit dem Schenkel auf c das Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math> hat
	\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)		\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-14T11:30:48Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 11:30 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	\| (VSS), (III)		\| (VSS), (III)
	\|}		\|}
	--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)		--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)<br />
	--> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)		--> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-14T11:30:12Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 11:30 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| <math> a \\| SP </math> und <math> a \\| b </math>		\| <math> a \\| SP </math> und <math> a \\| b </math> mit <math> S \in SP </math> und <math> S \in b</math>
	\| (VSS), (III)		\| (VSS), (III)
	\|}		\|}
	--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)		--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
	--> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)		--> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-14T11:28:27Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 11:28 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math>		\| das Maß <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math>
	\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)		\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Lösung 1 */

2010-07-14T11:27:40Z

Lösung 1

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 11:27 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	== Lösung 1 ==		== Lösung 1 ==
	VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \ \| b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br />		VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \\| b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br />
	Beh: <math> \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />		Beh: <math> \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />
	ANN: <math> \beta </math> > <math> \alpha </math><br />		ANN: <math>\| \beta \|</math> > <math>\| \alpha \| </math><br />

	{\| class="wikitable "		{\| class="wikitable "
Zeile 15:		Zeile 15:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der ~~Winkel~~ <math>{\alpha^{'}}</math>		\| <math>\| \alpha \| </math> im Scheitelpunkt S von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Strahl <math>{SP^{+}}</math> mit dem Winkelmaß <math>\|{\alpha^{'}}\|</math>
	\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)		\| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| ~~es existiert ein Punkt~~ <math> Q \~~in E~~</math>~~, Q nicht Element g~~		\| <math> \alpha \cong {\alpha^{'}} </math>
	\|		\| (I), (Def. Stufenwinkel)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| ~~es existiert ein Punkt~~ <math> C\~~in gQ^{+}:~~ \| ~~\angle PB^{+},PC^{+}\| = 90~~ </math>		\| <math> a \\| SP </math>
	\| ~~Winkelkonstruktionsaxiom~~, (I), (II)		\| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (I), (II)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| ~~es exisitiert genau eine Gerade~~ <math> ~~s </math> durch <math> C~~ </math> und <math> ~~P </math>, senkrecht auf <math> g~~ </math>		\| <math> a \\| SP </math> und <math> a \\| b </math>
	\| ~~Axiom I.1~~, (II)		\| (VSS), (III)
	\|}		\|}
			--> Widerspruch zum euklidischen Parallelenaxiom. (höchstens eine Gerade parallel durch einen Punkt P...)
			--> ANN falsch, Beh. wahr <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:27, 14. Jul. 2010 (UTC)

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: == Beweis des Stufenwinkelsatzes: == Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entst...

2010-07-14T11:20:06Z

Die Seite wurde neu angelegt: == Beweis des Stufenwinkelsatzes: == Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entst...

Neue Seite

== Beweis des Stufenwinkelsatzes: ==
Es seien a und b zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent.

== Lösung 1 ==
VSS: Gerade <math> a,b,c </math>, <math> a \ | b </math>, <math> c </math> schneidet <math> a </math> und <math> b </math><br />
Beh: <math> \alpha , \beta </math> sind Stufenwinkel, oBdA: <math> \alpha \cong \beta </math><br />
ANN: <math> \beta </math> > <math> \alpha </math><br />

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>| \alpha | </math> im Scheitelpunkt von <math> \beta </math> in der gleichen Halbebene bzgl <math> \alpha </math> abtragen, es entsteht der Winkel <math>{\alpha^{'}}</math>
| (Winkelmaßaxiom), (Winkelkonstruktionsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es existiert ein Punkt <math> Q \in E</math>, Q nicht Element g
|
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| es existiert ein Punkt <math> C\in gQ^{+}: | \angle PB^{+},PC^{+}| = 90 </math>
| Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| es exisitiert genau eine Gerade <math> s </math> durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>
| Axiom I.1, (II)
|}