Sefamerve: /* Lösung 1 */

2010-07-25T21:39:12Z

Lösung 1

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	<br />Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.		<br />Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.

	<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)		<br />--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)<br />
			== Lösung 2 ==<br />Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass <math>\|\alpha\| \ < \|\beta'\|</math>.<br />Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: <math>\ \|\beta'\| = 180 - \|\beta\|</math>
			Nun gilt: <math>\|\alpha\| \ < 180 - \|\beta\|</math>
			Nach Umformung erhält man: <math>\|\alpha\| + \|\beta\|\ < 180 </math>.

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Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz
::Die Summe der Größen zweier Inn...

2010-07-12T01:55:42Z

Die Seite wurde neu angelegt: == Aufgabenstellung == Beweisen Sie: Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz ::Die Summe der Größen zweier Inn...

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== Aufgabenstellung ==
Beweisen Sie: 
[[Der_schwache_Außenwinkelsatz| Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz]] 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

== Lösung 1 ==
Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]].
 Der Einfachheit halber werden die Winkel mit <math>\alpha \ \beta \ \gamma</math> bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann <math>\alpha' \ \beta' \ \gamma'</math>.
 Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>
 Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
 Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.
 [[Bild:Skizze_Übung_12_2.png]]

{| class="wikitable "
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es gilt: <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\beta'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\beta| \ + |\beta'| = 180</math>
| Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math>
| (II), Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math> und <math>|\gamma| \ < 180 - |\beta|</math>
| (I), (III)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math> und <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math>
| (IV), Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Es gilt: <math>|\beta| \ < |\alpha'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\alpha'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>|\alpha| + |\gamma|\ < 180 </math> und <math>|\beta| + |\gamma| \ < 180</math>
| Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V)
|}

 Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.3 - Versionsgeschichte

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