Lösung von Aufgabe 12.6 - Versionsgeschichte

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

2010-07-17T11:51:24Z

Versuch 1

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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PS^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PQ^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>		\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PQ^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>
	\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)		\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

2010-07-17T11:50:55Z

Versuch 1

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	\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PS^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>		\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PS^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PQ^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>
	\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)		\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

2010-07-17T11:50:41Z

Versuch 1

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juli 2010, 11:50 Uhr
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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>		\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math>, am Strahl <math>\ {PS^{-}}</math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>
	\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)		\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
	\|-		\|-

Heinzvaneugen am 14. Juli 2010 um 23:02 Uhr

2010-07-14T23:02:47Z

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	--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)		--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)

			== Versuch 2 ==

	Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:		Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:

Heinzvaneugen am 14. Juli 2010 um 22:27 Uhr

2010-07-14T22:27:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 22:27 Uhr
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	== Versuch 1 ==		== Versuch 1 ==
	VSS: Punkt <math> P </math>, Gerade <math> g </math>, <math>P \not \in g </math><br />		VSS: Punkt <math>\ P </math>, Gerade <math>\ g </math>, <math>P \not \in g </math><br />
	Beh: Gerade <math> h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g ~~</math> <math>~~ \\| ~~</math> <math>~~ h </math>		Beh: Gerade <math>\ h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g \\| h </math>


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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| Gerade PQ		\| Gerade <math>\ PQ</math>
	\| (Axiom I.1)		\| (Axiom I.1)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>P </math> an Gerade <math>PQ </math> in der Halbebene <math>{PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>{PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\|\alpha{'}\|~~</math>~~ = ~~<math>~~\| \alpha\| </math>		\| das Maß von <math> \| \angle PQR\| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ \|\alpha{'}\| = \| \alpha\| </math>
	\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)		\| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| <math>\alpha{'~~}</math>~~ , ~~<math>~~ \alpha </math> sind Stufenwinkel		\| <math>\ \alpha' , \alpha </math> sind Stufenwinkel
	\| (III), (Def. Stufenwinkel)		\| (III), (Def. Stufenwinkel)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| <math>PS </math> = <math> h </math>		\| <math>\ PS </math> = <math>\ h </math>
	\| (Axiom I.1)		\| (Axiom I.1)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| <math>g ~~</math> <math>~~ \\| ~~</math> <math>~~ h </math>		\| <math>\ g \\| h </math>
	\| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)		\| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)
	\|}		\|}
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	Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.		Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
	Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:		<br />Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
	1.Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
	2.Fall: schneidet h		#Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
	3.Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei		#Fall: schneidet h
	Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.		#Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
	Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.		<br />Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
	Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.		<br />Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
	(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.		<br />Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
			<br />(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
	--[[Benutzer:Nicola\|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Nicola\|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)

Nicola am 14. Juli 2010 um 15:49 Uhr

2010-07-14T15:49:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 15:49 Uhr
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	--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)		--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)

			Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:

			Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
			Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
			1.Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
			2.Fall: schneidet h
			3.Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
			Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
			Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
			Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
			(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
			--[[Benutzer:Nicola\|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$ , die durch $\ P$ geht un...

2010-07-14T11:07:35Z

Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht un...

Neue Seite

Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.

== Versuch 1 ==
VSS: Punkt <math> P </math>, Gerade <math> g </math>, <math>P \not \in g </math><br />
Beh: Gerade <math> h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g </math> <math> \| </math> <math> h </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> \exist Q: Q \in g </math>, <math> \exist R: R \in g </math>
| (Axiom I.0)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Gerade PQ
| (Axiom I.1)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>P </math> an Gerade <math>PQ </math> in der Halbebene <math>{PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>{PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>|\alpha{'}|</math> = <math>| \alpha| </math>
| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\alpha{'}</math> , <math> \alpha </math> sind Stufenwinkel
| (III), (Def. Stufenwinkel)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>PS </math> = <math> h </math>
| (Axiom I.1)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>g </math> <math> \| </math> <math> h </math>
| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)
|}

--> Beh ist wahr. <br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 12.6 - Versionsgeschichte

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

Heinzvaneugen am 14. Juli 2010 um 23:02 Uhr

Heinzvaneugen am 14. Juli 2010 um 22:27 Uhr

Nicola am 14. Juli 2010 um 15:49 Uhr

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie: Wenn \ P ein Punkt außerhalb der Geraden \ g ist, dann gibt es eine Gerade \ h, die durch \ P geht un...

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$ , die durch $\ P$ geht un...