Lösung von Aufgabe 13.1 - Versionsgeschichte

Heinzvaneugen: table+

2010-07-21T14:41:49Z

table+

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-Beweisen Sie den Satz: Wenn ein Innenwinkel eine Dreiecks größer ist als ein anderer Innenwinkel dieses Dreiecks ist, dann ist die Seite, die ihm gegenüber liegt, größer als die Seite, die dem kleineren Winkel gegenüber liegt.
+Beweisen Sie den Satz: Wenn ein Innenwinkel eines Dreiecks größer ist als ein anderer Innenwinkel dieses Dreiecks ist, dann ist die Seite, die ihm gegenüber liegt, größer als die Seite, die dem kleineren Winkel gegenüber liegt.
 ===== Satz IX.3 =====
 ::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
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 <u>Fallunterscheidung:</u>
 <br />Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
 <br />Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math>
 <br />Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
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 <u>Beweis (Fall 2):</u>
 <br />Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
 <br />Annahme:<math>|a| < \ |b|</math>
 <br />Annahme:<math>|BC| < \ |AC|</math>
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 ! style="background: #FFDDDD;"|(II)
 | Der Strahl <math>\ AD^+</math>  schneidet die Seite <math>\ a</math> in einem Punkt <math>\ C'</math>. <math>C' \in \ AD^+ \land C' \in \overline {BC}</math>
-| Axiom von Pasch (geht das? oder reicht der Verweis auf die "Geschichten aus dem Inneren")
+| Axiom von Pasch (geht das? oder reicht der Verweis auf die "Geschichten aus dem Inneren") oder Umkehrung Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom), da der Winkel <math>\ \angle BAC</math> sich aus <math>\ \angle BAC'</math> und <math>\ \angle C'AC</math> zusammensetzt.
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(III)
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 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
-| Die Winkel <math>\ \beta</math> und <math>\ \beta'</math> (<math>\ \angle BAD</math>) sind kongruent.
+| Wenn <br />Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math> ist die Stercke <math>|BC'| < |BC| \ </math>.
-| (I)
+| (III) <math>\rightarrow</math> Wenn <math>\ |\alpha|</math> kleiner wird, verkleinert sich auch die gegenüberliegende Seite
 |}

Heinzvaneugen am 20. Juli 2010 um 23:31 Uhr

2010-07-20T23:31:46Z

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	<br />Voraussetzung: <math>\ \|\alpha\| > \|\beta\|</math>		<br />Voraussetzung: <math>\ \|\alpha\| > \|\beta\|</math>
	<br />Annahme:<math>\|a\| < \ \|b\|</math>		<br />Annahme:<math>\|a\| < \ \|b\|</math>
			<br />Annahme:<math>\|BC\| < \ \|AC\|</math>

			{\| class="wikitable"
			! Nr.
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
			\| Am Scheitelpunkt <math>\ A</math> wird der Winkel <math>\ \beta</math> derart abgetragen, dass <math>\ AB^+</math> den einen Strahl des Winkels darstellt und der andere Strahl <math>\ AD^+</math> in der Halbebene <math>\ AB,C^+</math> liegt
			\| Winkelkonstruktionsaxiom
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\| Der Strahl <math>\ AD^+</math> schneidet die Seite <math>\ a</math> in einem Punkt <math>\ C'</math>. <math>C' \in \ AD^+ \land C' \in \overline {BC}</math>
			\| Axiom von Pasch (geht das? oder reicht der Verweis auf die "Geschichten aus dem Inneren")
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
			\| Die Länge der Strecke <math>\ \overline {BC'}</math> ist kleiner als die Länge der Strecke <math>\ \overline {BC}</math>
			\| Es gilt <math> \operatorname{Zw} \left(A, C', C \right) \rightarrow \|BC'\| + \|C'C\| = \|BC\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
			\| Die Winkel <math>\ \beta</math> und <math>\ \beta'</math> (<math>\ \angle BAD</math>) sind kongruent.
			\| (I)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
			\| Die Seiten <math>\ \overline {BC'}</math> und <math>\ \overline {AC'}</math> sind kongruent.
			\| Basiswinkelsatz, (IV)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
			\| tbc
			\|
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
			\|
			\|
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
			\|
			\|
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
			\|
			\|
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
			\|
			\|
			\|}

Heinzvaneugen am 20. Juli 2010 um 18:53 Uhr

2010-07-20T18:53:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 18:53 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left\| \alpha \right\| > \left\| \beta \right\|\Rightarrow \left\| a \right\| >\left\| b \right\| </math>		::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left\| \alpha \right\| > \left\| \beta \right\|\Rightarrow \left\| a \right\| >\left\| b \right\| </math>
	===== Beweis von Satz IX.3 =====		===== Beweis von Satz IX.3 =====
	~~Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.~~

	<u>Voraussetzung:</u>		<u>Fallunterscheidung:</u>
			<br />Voraussetzung: <math>\ \|\alpha\| > \|\beta\|</math>
			<br />Annahme:<math>\|a\| \le \ \|b\|</math>
			<br />Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
			#) <math>\|a\| = \ \|b\|</math>, dann gilt allerdings <math>\left\| \alpha \right\| = \left\| \beta \right\|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
			#) <math>\|a\| < \ \|b\|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ \|\alpha\| < \|\beta\|</math> (zu beweisen, analog zu Satz IX.2)

	~~<math>\left\| \alpha \right\| > \left\| \beta \right\|</math>~~		<u>Beweis (Fall 2):</u>
			<br />Voraussetzung: <math>\ \|\alpha\| > \|\beta\|</math>
	<u>~~Behauptung~~:</u>		<br />Annahme:<math>\|a\| < \ \|b\|</math>

	<~~math>\left\| a \right\| > \left\| b \right\|<~~/~~math>~~

	<u>~~Annahme~~:~~</u>~~
	<math>\~~left~~\| \alpha ~~\right~~\| > ~~\left~~\| \beta ~~\right~~\|</math>

	<math>~~\left~~\| a ~~\right~~\| \~~le \left~~\| b ~~\right~~\|</math>

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2010-07-20T17:51:21Z

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Beweisen Sie den Satz: Wenn ein Innenwinkel eine Dreiecks größer ist als ein anderer Innenwinkel dieses Dreiecks ist, dann ist die Seite, die ihm gegenüber liegt, größer als die Seite, die dem kleineren Winkel gegenüber liegt.
===== Satz IX.3 =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
===== Beweis von Satz IX.3 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

Behauptung:

<math>\left| a \right| > \left| b \right|</math>

Annahme:
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>