Lösung von Aufgabe 13.5 - Versionsgeschichte

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

2010-07-20T16:48:13Z

Versuch 1

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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(X)		! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
	\| <math>\|\angle ASP\| + \|\angle ~~BSP~~\|= \|\angle ASB\| </math>		\| <math>\| \angle ASP\| + \angle BSP\|= \|\angle ASB\| \rightarrow \|\angle ASP\| + \| \angle ASP\| =\|\angle ASB\| </math>
	\| (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)		\| (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
	\|-		\|-

Heinzvaneugen am 20. Juli 2010 um 16:24 Uhr

2010-07-20T16:24:19Z

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	'''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br />		'''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br />

	VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math> und <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math>		VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math> und <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math>

Heinzvaneugen am 20. Juli 2010 um 16:18 Uhr

2010-07-20T16:18:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juli 2010, 16:18 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden. <br />		Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden. <br />

	'''1. Hinrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von <math> \alpha </math> jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels <math> \alpha </math>."<br />		'''1. Hinrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von <math>\ \alpha </math> jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha </math>."<br />

	VSS: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math>, <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math><br />		VSS: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math>, <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math><br />
	Beh: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math><br />		Beh: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math><br />

			Kommentar --[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]] 16:18, 20. Jul. 2010 (UTC): siehe Diskussion


	{\| class="wikitable "		{\| class="wikitable "
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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| <math> A </math> sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> p </math> und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> q </math>		\| <math>\ A </math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ p </math> und <math> \ B</math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ q </math>
	\| (Existenz und Eindeutigkeit Lot)		\| (Existenz und Eindeutigkeit Lot)
	\|-		\|-
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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(X)		! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
	\| <math>\| \angle ASP\| + \angle BSP\|= \angle ASB\| </math>		\| <math>\|\angle ASP\| + \|\angle BSP\|= \|\angle ASB\| </math>
	\| (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)		\| (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(XI)		! style="background: #FFDDDD;"\|(XI)
	\| <math> {SP^{+}} \cong </math> Winkelhalbierenden von <math> \alpha </math> --> <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math>		\| <math> {SP^{+}} \cong </math> Winkelhalbierenden von <math> \alpha \ </math> --> <math>\ P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math>
	\| (X)		\| (X)
	\|}		\|}
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	'''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math> \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math> \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br />		'''2. Rückrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha </math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha </math> jeweils denselben Abstand."<br />

	VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math>		VSS: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math> und <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math>
	<br />		<br />
	Beh: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math><br />		Beh: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math><br />
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	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(I)		! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
	\| <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math>		\| <math>\ P \in </math> Winkelhalbierende von <math>\ \alpha </math>
	\| (VSS)		\| (VSS)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| <math> A </math> sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> p </math> und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> q </math>		\| <math>\ A </math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ p </math> und <math>\ B</math> sei der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf den Strahl <math>\ q </math>
	\| (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)		\| (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
	\|-		\|-

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

2010-07-17T11:35:05Z

Versuch 1

@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 | (X)
 |}
---> Beh. wahr qed<br />--
+--> Beh. wahr qed<br />
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(III)
-| es existiert ein Punkt <math> C\in gQ^{+}: | \angle PB^{+},PC^{+}| = 90 </math>
+| <math>|\angle SBP| = |\angle SAP| = 90 </math>
-| Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
+| (II), (Def. Lot)
 |-
 ! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
-| es exisitiert genau eine Gerade <math> s </math> durch <math> C </math> und <math> P </math>, senkrecht auf <math> g </math>
+| <math>|\angle ASP| = |\angle BSP| </math>
-| Axiom I.1, (II)
+| (Def. Winkelhalbierende)
 |}

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

2010-07-17T11:19:59Z

Versuch 1

@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 | (X)
 |}
---> Beh. wahr qed<br />--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:13, 17. Jul. 2010 (UTC)
+--> Beh. wahr qed<br />--

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$ , wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ ...

2010-07-17T11:13:27Z

Die Seite wurde neu angelegt: Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> ...

Neue Seite

Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

== Versuch 1 ==

Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden. 

'''1. Hinrichtung:''' "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von <math> \alpha </math> jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels <math> \alpha </math>." 

VSS: <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math>, <math> \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq </math> 
Beh: <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math> 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> A </math> sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> p </math> und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl <math> q </math>
| (Existenz und Eindeutigkeit Lot)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\overline{PB} \cong \overline{PA} </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\overline{SP} \cong \overline{SP} </math>
| (trivial)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>|\angle SBP| = |\angle SAP| = 90 </math>
| (Definition Lot)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\angle SAP </math> ist größter Winkel im Dreieck <math>\overline{SAP}</math>
| (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\angle SBP </math> ist größter Winkel im Dreieck <math>\overline{SBP}</math>
| (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\angle SBP </math> liegt der Seite <math>\overline{SP}</math> gegenüber <math>\angle SAP </math> liegt der Seite <math>\overline{SP}</math> gegenüber
| (Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\overline{SBP} \cong \overline{SAP}</math>
| (SSW), (VII), (IV), (III), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\angle ASP \cong \angle BSP</math>
| (VIII), (Def. Dreieckskongruenz)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| <math>| \angle ASP| + \angle BSP|= \angle ASB| </math>
| (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(XI)
| <math> {SP^{+}} \cong </math> Winkelhalbierenden von <math> \alpha </math> --> <math> P \in </math> Winkelhalbierende von <math> \alpha </math>
| (X)
|}
--> Beh. wahr qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:13, 17. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 13.5 - Versionsgeschichte

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

Heinzvaneugen am 20. Juli 2010 um 16:24 Uhr

Heinzvaneugen am 20. Juli 2010 um 16:18 Uhr

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

Löwenzahn: /* Versuch 1 */

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: Man beweise: Ein Punkt \ P gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels \ \alpha, wenn er zu den Schenkeln von \ \alpha ...

Löwenzahn: Die Seite wurde neu angelegt: Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$ , wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ ...