Lösung von Aufgabe 2.8 SoSe 2018 - Versionsgeschichte

m.g.: /* Lösung */

2018-05-22T11:26:33Z

Lösung

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Zeile 22:		Zeile 22:
	\begin{matrix}		\begin{matrix}
	\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & ~ & ~ & \text{Begründung} \\		\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & ~ & ~ & \text{Begründung} \\
	(I) & a^2+b^2 & = &c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\		\text{(I)} & a^2+b^2 & = &c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\
	(II) & q^2 + h^2 & = & b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\		\text{(II)} & q^2 + h^2 & = & b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\
	(III) & p^2 + h^2 & = & a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\		\text{(III)} & p^2 + h^2 & = & a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\
	(IV) & a^2+b^2 &= &(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\		\text{(IV)} & a^2+b^2 &= &(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\
	(V) & a^2 + b^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\		\text{(V)} & a^2 + b^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\
	(VI) & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\		\text{(VI)} & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\
	(VII) & 2h^2 &= & 2qp & \text{(VI)} \\		\text{(VII)} & 2h^2 &= & 2qp & \text{(VI)} \\
	(VIII) & h^2 &= & qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\		\text{(VIII)} & h^2 &= & qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>

m.g.: /* Lösung */

2018-05-22T11:24:34Z

Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2018, 11:24 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	<math>		<math>
	\begin{matrix}		\begin{matrix}
	\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung} \\		\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & ~ & ~ & \text{Begründung} \\
	(I) & a^2+b^2=c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\		(I) & a^2+b^2 & = &c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\
	(II) & q^2 + h^2 = b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\		(II) & q^2 + h^2 & = & b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\
	(III) & p^2 + h^2 = a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\		(III) & p^2 + h^2 & = & a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\
	(IV) & a^2+b^2=(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\		(IV) & a^2+b^2 &= &(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\
	(V) & a^2 + b^2 = q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\		(V) & a^2 + b^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\
	(VI) & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 = q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\		(VI) & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 &= & q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\
	(VII) & 2h^2 = 2qp & \text{(VI)} \\		(VII) & 2h^2 &= & 2qp & \text{(VI)} \\
	(VIII) & h^2 = qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\		(VIII) & h^2 &= & qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>

m.g.: /* Lösung */

2018-05-22T11:21:09Z

Lösung

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2018, 11:21 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	(I) & a^2+b^2=c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\		(I) & a^2+b^2=c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\
	(II) & q^2 + h^2 = b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\		(II) & q^2 + h^2 = b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\
	(III) & q^2 + h^2 = a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\		(III) & p^2 + h^2 = a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\
	(IV) & a^2+b^2=(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\		(IV) & a^2+b^2=(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\
			(V) & a^2 + b^2 = q^2 +2qp + q^2 & \text{(IV)} \\
			(VI) & p^2 + h^2 + q^2 + h^2 = q^2 +2qp + q^2 & \text{ (III), (IV), (V)} \\
			(VII) & 2h^2 = 2qp & \text{(VI)} \\
			(VIII) & h^2 = qp & \text{ (VII), q.e.d.} \\
	\end{matrix}		\end{matrix}
	</math>		</math>

m.g.: /* Lösung */

2018-05-22T11:15:41Z

Lösung

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Zeile 19:		Zeile 19:
	# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.		# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.
	# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.		# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.
			<math>
			\begin{matrix}
			\text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung} \\
			(I) & a^2+b^2=c^2 & \text{1. und Satz des Pythagoras für } \overline{ABC} \\
			(II) & q^2 + h^2 = b^2 & \text{ 6. und Satz des Pythagoras für } \overline{ALC} \\
			(III) & q^2 + h^2 = a^2 & \text{ 7. und Satz des Pythagoras für } \overline{BLC} \\
			(IV) & a^2+b^2=(q+p)^2 & \text{4. und (I)} \\
			\end{matrix}
			</math>
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	</div>		</div>
	[[Kategorie:Einführung_S]]		[[Kategorie:Einführung_S]]

m.g. am 22. Mai 2018 um 11:07 Uhr

2018-05-22T11:07:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2018, 11:07 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	<!--- Was hier drüber steht muss stehen bleiben --->		<!--- Was hier drüber steht muss stehen bleiben --->

			=Aufgabe 2.8 SoSe 2018=
			Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke lautet:<br />
			'''Satz: (Höhensatz)'''<br />
			: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe <math>h_c</math> auf die Hypotenuse so groß, wie der Flächeninhalt des Rechtecks, dessen Seitenlängen den Hypotenusenabschnitten <math>q</math> und <math>p</math> entsprechen. <br />
			Kurz: <math>h_c^2=q \cdot p</math><br />

			Beweisen Sie den Höhensatz unter Verwendung des Satzes von Pythagoras.<br />
			=Lösung=
			# Es sei <math> \overline{ABC}</math> ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel <math>\gamma = \angle ACB</math>.
			# Die Höhe <math>h</math> von <math>C</math> auf die Seite <math>c=\overline{AB}</math> habe auf <math>c</math> den Fußpunkt <math>~L</math>.
			# <math> ~L</math> teilt die Hypotenuse <math>c</math> in die beiden Hypotenusenabschnitte <math>q:= \overline{AL}</math> und <math>p:= \overline{LB}</math>.
			# Es gilt also <math>c=q+p</math>.
			# Weil die Höhe <math>h</math> senkrecht auf der Hypotenuse <math>c</math> steht, entstehen die zwei rechtwinklige Teildreiecke <math>\overline{ALC}</math> und <math>\overline{BLC}</math>.
			# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{ALC}</math> ist <math>a= \overline{AC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle ALC</math> der rechte Winkel.
			# Im rechtwinkligen Teildreieck <math>\overline{BLC}</math> ist <math>b= \overline{BC}</math> die Hypotenuse und <math>\angle BLC</math> der rechte Winkel.

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2018-05-22T10:20:40Z

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m.g. am 22. Mai 2018 um 11:07 Uhr

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