Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P) - Versionsgeschichte

Tutorin Anne am 4. Februar 2013 um 11:49 Uhr

2013-02-04T11:49:18Z

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Zeile 9:		Zeile 9:
	Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br /><br />
	Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)		Nicht korrekt, da dies die <s>Kontraposition des Basiswinkelsatzes</s> ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)
			*Richtig, der Beweis ist nicht korrekt. Allerdings wird hier die '''Kontraposition der Umkehrung''' genutzt, aber eben nicht so begründet.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 12:49, 4. Feb. 2013 (CET)

	Beweis 2)		Beweis 2)
Zeile 28:		Zeile 28:
	Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Bew: Nehmen wir an \|α\| = \|β\|. Wenn \|α\| = \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht \|AC\|= \|BC\| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil \|AC\|= \|BC\|<math>\neq</math> \|AC\|< \|BC\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Nehmen wir an \|α\| = \|β\|. Wenn \|α\| = \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht \|AC\|= \|BC\| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil \|AC\|= \|BC\|<math>\neq</math> \|AC\|< \|BC\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br />
	--~~Würmli 13~~:32, 3. Feb. 2013 (CET)		--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)<br />
			* Sehr gut Würmli!--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 12:49, 4. Feb. 2013 (CET)


	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

Würmli am 3. Februar 2013 um 12:32 Uhr

2013-02-03T12:32:53Z

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Zeile 9:		Zeile 9:
	Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br /><br />
	Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.		Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)


Zeile 18:		Zeile 18:
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />

	Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.		Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)


Zeile 29:		Zeile 29:
	Bew: Nehmen wir an \|α\| = \|β\|. Wenn \|α\| = \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht \|AC\|= \|BC\| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil \|AC\|= \|BC\|<math>\neq</math> \|AC\|< \|BC\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Nehmen wir an \|α\| = \|β\|. Wenn \|α\| = \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht \|AC\|= \|BC\| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil \|AC\|= \|BC\|<math>\neq</math> \|AC\|< \|BC\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br /><br />
			--Würmli 13:32, 3. Feb. 2013 (CET)


	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

Würmli am 3. Februar 2013 um 12:09 Uhr

2013-02-03T12:09:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2013, 12:09 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.		Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
	<br /><br />		<br /><br />
	Beweis 2)		Nicht korrekt, da dies die Kontraposition des Basiswinkelsatzes ist und nicht der Basiswinkelsatz selber.


			Beweis 2)
	Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />		Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
	Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />

			Korrekter indirekter Beweis durch Kontraposition.


	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

	Beweis:		Beweis:
	Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />		Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />

Würmli am 3. Februar 2013 um 11:48 Uhr

2013-02-03T11:48:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Februar 2013, 11:48 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
			Beweis:
			Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
			Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
			Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
			Bew: Nehmen wir an \|α\| = \|β\|. Wenn \|α\| = \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\| wegen der Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Demnach steht \|AC\|= \|BC\| im Wiederspruch zur Vorraussetzung weil \|AC\|= \|BC\|<math>\neq</math> \|AC\|< \|BC\|. Damit ist der Satz bewiesen.
			<br /><br />



	[[Category:Einführung_P]]		[[Category:Einführung_P]]

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. '''

'''a) Welche…“

2012-11-14T12:20:48Z

Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. ''' '''a) Welche…“

Neue Seite

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 12 13 P) - Versionsgeschichte

Tutorin Anne am 4. Februar 2013 um 11:49 Uhr

Würmli am 3. Februar 2013 um 12:32 Uhr

Würmli am 3. Februar 2013 um 12:09 Uhr

Würmli am 3. Februar 2013 um 11:48 Uhr

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck \overline{ABC} mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. ''' '''a) Welche…“

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. '''

'''a) Welche…“