Lösung von Aufgabe 3.4 S (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Nummero6 am 19. Juni 2012 um 13:25 Uhr

2012-06-19T13:25:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2012, 13:25 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br />		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br />
	Frage: Ist es sinnvoll von einer Umkehrung die Kontraposition zu bilden???--[[Benutzer:Nummero6\|Tchu Tcha Tcha]] 15:20, 19. Jun. 2012 (CEST)		Frage: Ist es sinnvoll von einer Umkehrung die Kontraposition zu bilden???<br />
			Man bildet doch die Kontraposition aus der Implikation!?!?--[[Benutzer:Nummero6\|Tchu Tcha Tcha]] 15:20, 19. Jun. 2012 (CEST)

	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

Nummero6 am 19. Juni 2012 um 13:20 Uhr

2012-06-19T13:20:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2012, 13:20 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
	Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br />~~<br />~~		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br />
			Frage: Ist es sinnvoll von einer Umkehrung die Kontraposition zu bilden???--[[Benutzer:Nummero6\|Tchu Tcha Tcha]] 15:20, 19. Jun. 2012 (CEST)

	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

Andreas am 22. Mai 2012 um 11:28 Uhr

2012-05-22T11:28:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 11:28 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]
	Beweis durch Widerspruch, d.h. <math>A \wedge \neg B</math> (Hilfe bei Formelschreibweise!)		Beweis durch Widerspruch, d.h. <math>A \wedge \neg B</math> (Hilfe bei Formelschreibweise!)<br />
	Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|<br />		Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|<br />
	Beh.: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh.: \|α\| ≠ \|β\|<br />

Andreas am 22. Mai 2012 um 11:28 Uhr

2012-05-22T11:28:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 11:28 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]
	Beweis durch Widerspruch, d.h. A ~~und nicht~~ B (Hilfe bei Formelschreibweise!)		Beweis durch Widerspruch, d.h. <math>A \wedge \neg B</math> (Hilfe bei Formelschreibweise!)
	Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|		Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|<br />
	Beh.: \|α\| ≠ \|β\|		Beh.: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|		Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|<br />
	Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes](2) \|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d		Beweis: <br />
			(1)Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]<br />
			(2)\|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

2012-05-03T09:18:14Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 09:18 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Aufgabe 3.4==		{{Zitat_wpde\|--[[Benutzer:BioGeMa\|BioGeMa]] 11:18, 3. Mai 2012 (CEST)\|Name\|Datum}}==Aufgabe 3.4==
	'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.		'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
	'''<br /><br />		'''<br /><br />

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

2012-05-03T09:16:09Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 09:16 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	Beh.: \|α\| ≠ \|β\|		Beh.: \|α\| ≠ \|β\|
	Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|		Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|
	Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]		Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes](2) \|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d
	(2) \|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

2012-05-03T09:15:42Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 09:15 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]
	Beweis durch Widerspruch, d.h. A und nicht B		Beweis durch Widerspruch, d.h. A und nicht B (Hilfe bei Formelschreibweise!)
	Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|		Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|
	Beh.: \|α\| ≠ \|β\|		Beh.: \|α\| ≠ \|β\|
	Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|		Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|
	Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]		Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]
	=> Widerspruch zur Voraussetzung!		(2) \|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

2012-05-03T09:12:36Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 09:12 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]
			Beweis durch Widerspruch, d.h. A und nicht B
			Vor.: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|
			Beh.: \|α\| ≠ \|β\|
			Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|
			Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]
			=> Widerspruch zur Voraussetzung!

Buchner: /* Aufgabe 3.4 */

2012-04-30T11:55:28Z

Aufgabe 3.4

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2012, 11:55 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	==Aufgabe 3.4==		==Aufgabe 3.4==
	~~Das Parallelenaxiom lautet wie folgt~~:<br />		'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
	~~Zu jeder Geraden ''g''~~ und ~~zu jedem~~ nicht ~~auf ''g'~~' ~~liegenden Punkt~~ ''~~A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.~~<br />		'''<br /><br />
	~~Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:~~<br />		'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
	~~Es seien~~ ''a'~~', ''b~~'' und ~~''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene~~.<br />
	a) ~~Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis:~~ <math>\ ~~a \~~\|\| ~~b \wedge b \~~\|\| ~~c \Rightarrow \ a \~~\|\| c</~~math~~> . <br />		Beweis 1)
	b) ~~Welche Eigenschaft der Relation~~ <math>\\|\| </~~math~~> ~~auf~~ der ~~Menge aller Geraden einer Ebene haben~~ Sie ~~hiermit gezeigt?~~<br />		Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
			Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
			Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
			Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.
			<br /><br />
			Beweis 2)
			Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
			Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
			Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
			Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
			b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

	[[Category:Einführung_S]]		[[Category:Einführung_S]]

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 3.4== Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Ger…“

2012-04-26T12:54:15Z

Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 3.4== Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Ger…“

Neue Seite

==Aufgabe 3.4==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

[[Category:Einführung_S]]

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2012, 13:20 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />		Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />
	Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />		Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br />~~<br />~~		Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br />
			Frage: Ist es sinnvoll von einer Umkehrung die Kontraposition zu bilden???--[[Benutzer:Nummero6\|Tchu Tcha Tcha]] 15:20, 19. Jun. 2012 (CEST)

	b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />		b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2012, 09:16 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	Beh.: \|α\| ≠ \|β\|		Beh.: \|α\| ≠ \|β\|
	Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|		Annahme: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| und \|α\| = \|β\|
	Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes]		Beweis: (1) Wenn \|α\| = \|β\|, dann ist \|AC\|= \|BC\| [vgl. Umkehrung des Basiswinkelsatzes](2) \|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d
	(2) \|AC\|= \|BC\| ist ein Widerspruch zur Voraussetzung! q.e.d

Lösung von Aufgabe 3.4 S (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Nummero6 am 19. Juni 2012 um 13:25 Uhr

Nummero6 am 19. Juni 2012 um 13:20 Uhr

Andreas am 22. Mai 2012 um 11:28 Uhr

Andreas am 22. Mai 2012 um 11:28 Uhr

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

BioGeMa: /* Aufgabe 3.4 */

Buchner: /* Aufgabe 3.4 */

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 3.4== Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Ger…“

Buchner: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 3.4== Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Ger…“