Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 16/17) - Versionsgeschichte

AlanTu am 9. November 2016 um 19:42 Uhr

2016-11-09T19:42:45Z

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	~~'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline~~{~~ABC} </math> mit \|AC\|< \|BC\| < \|AB\| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.~~		{{WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Woche 4/Aufgabe 2}}
	~~'''<br /><br />~~
	~~'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />~~

	~~Beweis 1)~~
	~~Sei <math>\overline~~{~~ABC} </math> ein Dreieck.<br~~ />
	~~Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br~~ />
	~~Beh~~: ~~\|α\| ≠ \|β\|<br~~ />
	~~Bew: Da nach Voraussetzung \|AC\| ≠ \|BC\| gilt nach dem Basiswinkelsatz \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.~~
	~~<br~~ /~~><br />~~
	~~Beweis~~ 2)
	~~Sei <math>\overline{ABC~~} ~~</math> ein Dreieck.<br />~~
	~~Vor: \|AC\|< \|BC\| < \|AB\|. <br />~~
	~~Beh: \|α\| ≠ \|β\|<br />~~
	Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \|α\|= \|β\| dann gilt \|AC\|= \|BC\|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \|AC\| ≠ \|BC\| dann gilt \|α\| ≠ \|β\|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: \|AC\|< \|BC\|, d.h. \|AC\| ≠ \|BC\|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \|α\| ≠ \|β\|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
	~~b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />~~


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	[[Category:Geo_P]]		[[Category:Geo_P]]

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. '''

'''a) Wel…“

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Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. ''' '''a) Wel…“

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'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

[[Category:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 16/17) - Versionsgeschichte

AlanTu am 9. November 2016 um 19:42 Uhr

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck \overline{ABC} mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. ''' '''a) Wel…“

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander. '''

'''a) Wel…“