Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12) - Versionsgeschichte

Studentin am 23. Mai 2012 um 13:30 Uhr

2012-05-23T13:30:31Z

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	so ?--[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)		so ?--[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
			a nicht parallel zu c führt zum schnittpunkt --> annahme und noch dafür begrüngung finden.<br />
			a parallel zu b --> aus vorraussetzung<br />
			b und c sind parallel --> aus vorraussetzung<br />
			durch den schnittpunkt gibt es nur eine gerade, die zu b parallel ist --> par.-axiom<br />
			schnittpunkt ist aber von zwei nicht parallelen geraden a unc c --> annahme<br />
			damit funktioniert die ganze idee nicht mehr, der annahme kann widersprochen werden und die implikation ist bewiesen.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:30, 23. Mai 2012 (CEST)



	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)		die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
	[[Kategorie:Einführung_P]]		[[Kategorie:Einführung_P]]

Studentin am 23. Mai 2012 um 13:19 Uhr

2012-05-23T13:19:45Z

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Zeile 24:		Zeile 24:
	In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />		In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
	durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)		durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)
			<br />p.s.: sie können sich also nicht schneiden (wie es in der annahme behauptet wird. damit ist die annahme widerlegt und die implikation durch widerspruch bewiesen.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:19, 23. Mai 2012 (CEST)

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"

Malilglowka am 23. Mai 2012 um 13:19 Uhr

2012-05-23T13:19:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Mai 2012, 13:19 Uhr
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	\| (2) b nicht parallel c \|\| 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist		\| (2) b nicht parallel c \|\| 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist
	\|-		\|-
	\| (3) a\|\|b und b nicht parallel c \|\| 3. Parallelaxiom		\| (3) a parallel b und b nicht parallel c \|\| 3. Parallelaxiom
	\|}		\|}

Malilglowka am 23. Mai 2012 um 13:18 Uhr

2012-05-23T13:18:24Z

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	!Beweisschritt!!Begründung		!Beweisschritt!!Begründung
	\|-		\|-
	\| (1) \|\| 1...		\| (1) a nicht parallel c \|\| 1. somit Schnittpunkt a und c
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	\| (2) \|\| 2...		\| (2) b nicht parallel c \|\| 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist
	\|}		\|-
			\| (3) a\|\|b und b nicht parallel c \|\| 3. Parallelaxiom
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			so ?--[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)

	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)		die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
	[[Kategorie:Einführung_P]]		[[Kategorie:Einführung_P]]

Studentin am 23. Mai 2012 um 13:17 Uhr

2012-05-23T13:17:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Mai 2012, 13:17 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)		sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

	In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)		In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
			durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"

Malilglowka am 23. Mai 2012 um 13:12 Uhr

2012-05-23T13:12:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Mai 2012, 13:12 Uhr
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	sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)		sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

			In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"

Tutorin Anne am 22. Mai 2012 um 16:27 Uhr

2012-05-22T16:27:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Mai 2012, 16:27 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />		für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />
	1. die behauptung:<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c </math> <br />		1. die ''behauptung'':<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c </math> <br />
			du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
	und <br />		und <br />
	2. die annahme (gegenteil der behauptung):<math> a\not \parallel c</math>,<br />		2. die annahme (gegenteil der behauptung):<math> a\not \parallel c</math>,<br />
Zeile 19:		Zeile 20:
	da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.		da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
	--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)<br /><br />		--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
			sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)


			{\| class="wikitable sortable"
			!Beweisschritt!!Begründung
			\|-
			\| (1) \|\| 1...
			\|-
			\| (2) \|\| 2...
			\|}


	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
	die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)		die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
	[[Kategorie:Einführung_P]]		[[Kategorie:Einführung_P]]

Studentin am 11. Mai 2012 um 07:39 Uhr

2012-05-11T07:39:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Mai 2012, 07:39 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br />		Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br />
	a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />		b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />


			a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />		<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
	für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />		für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />
Zeile 18:		Zeile 18:
	es ist gegeben, dass <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br />		es ist gegeben, dass <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br />
	da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.		da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
	--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)		--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)<br /><br />

			b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\\|\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
			die relation <math>\\|\| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
	[[Kategorie:Einführung_P]]		[[Kategorie:Einführung_P]]

Studentin am 11. Mai 2012 um 07:35 Uhr

2012-05-11T07:35:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Mai 2012, 07:35 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:


			<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c \Rightarrow \ a \\|\| c</math> . <br />
			für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />
			1. die behauptung:<math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c </math> <br />
			und <br />
			2. die annahme (gegenteil der behauptung):<math> a\not \parallel c</math>,<br />
			um sie zu einem widerspruch zu führen.<br />

			[[Datei:Parallele mit schnittpunkt 001.jpg\|600px]]<br />
			wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.<br />
			es ist gegeben, dass <math>\ a \\|\| b \wedge b \\|\| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br />
			da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
			--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)

	[[Kategorie:Einführung_P]]		[[Kategorie:Einführung_P]]

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch '…“

2012-05-09T13:19:56Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch '…“

Neue Seite

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

[[Kategorie:Einführung_P]]

← Nächstältere Version		Version vom 23. Mai 2012, 13:19 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />		In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
	durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)		durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)
			<br />p.s.: sie können sich also nicht schneiden (wie es in der annahme behauptet wird. damit ist die annahme widerlegt und die implikation durch widerspruch bewiesen.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:19, 23. Mai 2012 (CEST)

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"

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	sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)		sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

	In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)		In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
			durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin\|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"

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	sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)		sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

			In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka\|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"