Lösung von Aufgabe 6.3 - Versionsgeschichte

Schnirch: /* Lösung: */

2010-06-16T12:46:27Z

Lösung:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juni 2010, 12:46 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:		# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:

	== Lösung: ==		== Lösung: --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 12:46, 16. Jun. 2010 (UTC)==
	zu 1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann gibt es keine drei, die auf einer Geraden liegen.<br />		zu 1) Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann gibt es keine drei, die auf einer Geraden liegen.<br />
	zu 2) Von vier Punkten, die nicht komplanar sind, gibt es keine drei, die kollinear sind.<br />		zu 2) Von vier Punkten, die nicht komplanar sind, gibt es keine drei, die kollinear sind.<br />

Schnirch: /* Beweis */

2010-06-16T12:46:10Z

Beweis

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juni 2010, 12:46 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	\|}		\|}
	Annahme ist zu verwerfen! Behauptung stimmt!		Annahme ist zu verwerfen! Behauptung stimmt!

			== vorangegangene Diskussion:==

	===Beweis===		===Beweis===
Zeile 77:		Zeile 79:

	# ...		# ...

	===Beweis===		===Beweis===
	====Voraussetzung:====		====Voraussetzung:====

Schnirch: /* Satz: */

2010-06-16T12:45:36Z

Satz:

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 # Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
 # Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
 ===Beweis===
 ::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> drei Punkte, die nicht komplanar sind.

Sternchen: /* Beweis der Kontraposition */

2010-06-10T13:37:37Z

Beweis der Kontraposition

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2010, 13:37 Uhr
Zeile 85:		Zeile 85:
	\|-		\|-
	\|2)<math>\operatorname{nkoll}(A,B,D)</math>		\|2)<math>\operatorname{nkoll}(A,B,D)</math>
	\|\|Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A.		\|\|Voraussetzung, <s>Punktauswahl o.B.d.A.</s> (1)
	\|-		\|-
	\|3)Es gibt genau eine Ebene <math>\ E</math> mit <math>A,B,D \in E</math>		\|3)Es gibt genau eine Ebene <math>\ E</math> mit <math>A,B,D \in E</math>

Spannagel: /* Annahme: */

2010-06-07T22:06:48Z

Annahme:

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2010, 22:06 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	<ggb_applet width="1159" height="554" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />		<ggb_applet width="1159" height="554" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
	<br />		<br />

			: Schick! Es wäre natürlich noch schicker, wenn das Ganze tatsächlich dreidimensional wäre. Vielleicht haben Sie Lust, sich an einer dreidimensionalen Modellierung zu versuchen? GeoGebra unterstützt in gewissem Maße Dreidimensionalität - siehe [http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/3D_Geometrie hier] --[[Benutzer:Spannagel\|Spannagel]] 22:06, 7. Jun. 2010 (UTC)

	=== Beweis der Kontraposition ===		=== Beweis der Kontraposition ===
	Ich versuche zu beweisen, dass gilt: <s>koll(A,B,C,D)</s> (Das war Quatsch!)<br />		Ich versuche zu beweisen, dass gilt: <s>koll(A,B,C,D)</s> (Das war Quatsch!)<br />

Sternchen: /* zur Kontraposition */

2010-06-07T19:29:45Z

zur Kontraposition

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2010, 19:29 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	Man merkt an allen Ecken und Enden das Fehlen der Lehrveranstaltung'' Einführung in die Mathematik'' (in den 90ger Jahren gab es sowas).		Man merkt an allen Ecken und Enden das Fehlen der Lehrveranstaltung'' Einführung in die Mathematik'' (in den 90ger Jahren gab es sowas).
	--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 17:08, 7. Jun. 2010 (UTC)--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 17:08, 7. Jun. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 17:08, 7. Jun. 2010 (UTC)--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 17:08, 7. Jun. 2010 (UTC)
			<br />
			<br />
			:So leicht lass ich mich bestimmt nicht entmutigen, [[Benutzer:m.g.\|m.g.]], aber nicht um des Himmels Willen, sondern weil ich wissen will, was ich falsch gemacht habe. Sonst macht das Ganze doch nicht halb so viel Freude!
			:Ich hab jetzt oben was geändert. War es das, was Sie gemeint haben? Ist der Rest richtig?
			:--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 19:29, 7. Jun. 2010 (UTC)

Sternchen: /* Beweis der Kontraposition */

2010-06-07T19:11:46Z

Beweis der Kontraposition

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2010, 19:11 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	<br />		<br />
	=== Beweis der Kontraposition ===		=== Beweis der Kontraposition ===
	Ich versuche zu beweisen, dass gilt: <math>\operatorname{koll}(A,B,C,D) \Rightarrow \operatorname{komp}(A,B,C,D)</math><br />		Ich versuche zu beweisen, dass gilt: <s>koll(A,B,C,D)</s> (Das war Quatsch!)<br />
			<math>\operatorname{koll}(A,B,C) \Rightarrow \operatorname{komp}(A,B,C,D)</math><br />
	Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.<br />		Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.<br />
	<br />		<br />

m.g.: /* zur Kontraposition Aufgabe 6.3 */

2010-06-07T17:08:11Z

zur Kontraposition Aufgabe 6.3

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2010, 17:08 Uhr
Zeile 138:		Zeile 138:

	Man merkt an allen Ecken und Enden das Fehlen der Lehrveranstaltung'' Einführung in die Mathematik'' (in den 90ger Jahren gab es sowas).		Man merkt an allen Ecken und Enden das Fehlen der Lehrveranstaltung'' Einführung in die Mathematik'' (in den 90ger Jahren gab es sowas).
			--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 17:08, 7. Jun. 2010 (UTC)--[[Benutzer:m.g.\|m.g.]] 17:08, 7. Jun. 2010 (UTC)

m.g.: /* noch einmal die Voraussetzung */

2010-06-07T17:06:32Z

noch einmal die Voraussetzung

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2010, 17:06 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	=== noch einmal die Voraussetzung ===		=== noch einmal die Voraussetzung ===
	Es gibt keine Ebene, die alle 4 Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.		Es gibt keine Ebene, die alle 4 Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.
	Das ist in Worten ausgedrückt, was der Mathematiker kurz als <math>\~~oeratorname~~{nKomp} \left( A, B, C, D \right)</math> schreibt.		Das ist in Worten ausgedrückt, was der Mathematiker kurz als <math>\operatorname{nKomp} \left( A, B, C, D \right)</math> schreibt.

	=== noch einmal die Behauptung ===		=== noch einmal die Behauptung ===
	Es gibt keine Gerade, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.		Es gibt keine Gerade, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.

m.g. am 7. Juni 2010 um 17:05 Uhr

2010-06-07T17:05:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Juni 2010, 17:05 Uhr
Zeile 97:		Zeile 97:
	vgl. [[Diskussion:Lösung von Aufgabe 6‎]] (aus Woche 5)<br />		vgl. [[Diskussion:Lösung von Aufgabe 6‎]] (aus Woche 5)<br />
	--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:37, 4. Jun. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:37, 4. Jun. 2010 (UTC)

			== zur Kontraposition ==
			Wir gehen von 4 Punkten <math>\ A, B, C, D</math> aus.
			=== noch einmal die Voraussetzung ===
			Es gibt keine Ebene, die alle 4 Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.
			Das ist in Worten ausgedrückt, was der Mathematiker kurz als <math>\oeratorname{nKomp} \left( A, B, C, D \right)</math> schreibt.
			=== noch einmal die Behauptung ===
			Es gibt keine Gerade, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.
			=== Die Umkehrung ===
			Wenn es keine Gerade gibt, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält, dann sind die vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> nicht komplanar.
			=== Die Kontraposition ===
			Wir negieren die Voraussetzung der Umkehrung:<br />
			''Es gibt keine'' wird zu ''Es gibt eine'' (Doppelte Verneinung: Es gilt nicht, dass es keine Gerade gibt ...)<br />
			Also: Es gibt eine Gerade, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält<br />
			Wir negieren die Behauptung der Umkehrung: <br />
			die vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> sind nicht nicht komplanar<br />
			also: die vier Punkte sind komplanar<br />
			Alles zusammen: Wenn es eine Gerade gibt, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält, dann sind die vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> komplanar.<br />
			oder so: (komplanar übersetzt)<br />
			Wenn es eine Gerade gibt, die drei der vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält, dann gibt es (auch) eine Ebene die alle vier Punkte <math>\ A, B, C, D</math> enthält.
			Anders formuliert:
			Wenn (o.B.d.A.) <math>\operatorname{Koll} \left( A, B, C \right)</math>, dann <math>\operatorname{Komp} \left( A, B, C , D\right)</math>

			Erkennen Sie den Zusammenhang mit dem indirekten Beweis?

			Wichtig: Voraussetzung und Behauptung unseres Satzes (egal ob als Satz oder Umkehrung) sind letztlich negierte Existenzaussagen.
			Diese Existenzaussagen sind bei der Bildung der Kontraposition zu negieren.

			Hinweis: Häufig ist es sinnvoll, beim Beweis von Sätzen die im Satz verwendeten Begriffe (egal ob Objekt- oder Relationsbegriff) zu übersetzen. Im speziellen Fall war das:<br />

			* <math>\operatorname{nKomp} \left( A, B, C, D \right)</math> : Es existiert keine Ebene ....
			* <math>\operatorname{nKoll} \left( A, B, C \right)</math> :Es existiert keine Gerade ...

			noch ein persönlicher Kommentar: Ich habe lange überlegt, ob ich das jetzt schon schreibe oder noch ein wenig warte. Ich hab mich dann doch entschieden, den Fehler in der Kontraposition möglichst schnell zu verdeutlichen. Lassen Sie sich um Himmels Willen nicht entmutigen. Ihr Beitrag ist für den weiteren Verlauf der Lehrveranstaltung unglaublich wichtig. Wir wissen jetzt, dass wir Existenz- <math> \exists</math> und Allaussagen <math>\forall</math> sowie deren Verneinungen deutlicher hervorheben und expliziter behandeln müssen und Ihnen wird es mit Sicherheit nicht noch einmal passieren. Mathematik lernt man nur durch die aktive Auseinandersetzung mit der Materie.


			Ich erinnere mich immer wieder an meine erste Mathematikvorlesung überhaupt (Ich kam einen Monat zu spät zum Studium): Es war eine Analysisvorlesung: Existenz und Eindeutigkeit der n-ten Wurzel. Ich dachte ich kapier das nie.


			Man merkt an allen Ecken und Enden das Fehlen der Lehrveranstaltung'' Einführung in die Mathematik'' (in den 90ger Jahren gab es sowas).

Lösung von Aufgabe 6.3 - Versionsgeschichte

Schnirch: /* Lösung: */

Schnirch: /* Beweis */

Schnirch: /* Satz: */

Sternchen: /* Beweis der Kontraposition */

Spannagel: /* Annahme: */

Sternchen: /* zur Kontraposition */

Sternchen: /* Beweis der Kontraposition */

*m.g.*: /* zur Kontraposition Aufgabe 6.3 */

*m.g.*: /* noch einmal die Voraussetzung */

*m.g.* am 7. Juni 2010 um 17:05 Uhr

m.g.: /* zur Kontraposition Aufgabe 6.3 */

m.g.: /* noch einmal die Voraussetzung */

m.g. am 7. Juni 2010 um 17:05 Uhr