Lösung von Aufgabe 6.4 - Versionsgeschichte

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:55 Uhr

2010-07-14T08:55:35Z

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	<br />		<br />
	Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????		Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????
	~~<br~~

	~~<Dozenten.jpg‎>~~

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:55 Uhr

2010-07-14T08:55:17Z

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	<Dozenten.jpg‎>		<Dozenten.jpg‎>
	~~Datei:M63.jpg\|[[M63]]~~
	~~Datei:Mona Lisa.jpg\|[[Mona Lisa]]~~
	~~Datei:Truite arc-en-ciel.jpg\|Eine [[Forelle ]]~~
	~~</gallery>~~

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:54 Uhr

2010-07-14T08:54:56Z

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	<br />		<br />
	Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????		Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????
	<br />		<br

			<Dozenten.jpg‎>
			Datei:M63.jpg\|[[M63]]
			Datei:Mona Lisa.jpg\|[[Mona Lisa]]
			Datei:Truite arc-en-ciel.jpg\|Eine [[Forelle ]]
			</gallery>

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:51 Uhr

2010-07-14T08:51:00Z

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Zeile 172:		Zeile 172:


	Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E		Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E<br />

	Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.		Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.
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	Fälle:		Fälle:
	~~1. A,B und C liegen in der ebene E~~
	~~2. Genau zwei der drei Punte liegen in E (o.B.d.A)~~
	~~3. Genau einer der drei Punkte liegt in E (o.B.d.A)~~
	~~4. Keiner der drei Punkte liegt in E~~

	~~1. A,B,C liegen in der Ebene E~~
	~~2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)~~
	~~3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)~~
	~~4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.~~

			1. A,B,C liegen in der Ebene E<br />
			2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)<br />
			3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)<br />
			4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.<br />
			<br />
	Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.		Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.
			<br />
	Untersuchung von Fall 1:		<br />
			Untersuchung von Fall 1:<br />
	Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4		<br />
			Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4<br />
	Untersuchung von Fall 2:		<br />
			Untersuchung von Fall 2:<br />
	Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.		<br />
			Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar. <br />
	Untersuchung von Fall 3:		<br />
			Untersuchung von Fall 3: <br />
			<br />
	Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:		Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
	Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.		Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
	Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.		Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.<br />
			<br />
	Untersuchung von Fall 4:		Untersuchung von Fall 4:<br />
			<br />
	Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.		Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.<br />
			<br />
	Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????		Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????
			<br />

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:46 Uhr

2010-07-14T08:46:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 08:46 Uhr
Zeile 189:		Zeile 189:
	3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)		3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)
	4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.		4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.

	Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.		Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:46 Uhr

2010-07-14T08:46:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 08:46 Uhr
Zeile 173:		Zeile 173:

	Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E		Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E

	Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.		Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.


	Beweis:		Beweis:



	Fälle:		Fälle:
			1. A,B und C liegen in der ebene E
			2. Genau zwei der drei Punte liegen in E (o.B.d.A)
			3. Genau einer der drei Punkte liegt in E (o.B.d.A)
			4. Keiner der drei Punkte liegt in E

	1. A,B,C liegen in der Ebene E		1. A,B,C liegen in der Ebene E
Zeile 189:		Zeile 192:

	Untersuchung von Fall 1:		Untersuchung von Fall 1:

	Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4		Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4

	Untersuchung von Fall 2:		Untersuchung von Fall 2:

	Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.		Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.

	Untersuchung von Fall 3:		Untersuchung von Fall 3:

	Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:		Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
	Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.		Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
Zeile 200:		Zeile 206:

	Untersuchung von Fall 4:		Untersuchung von Fall 4:

	Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.		Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.

	Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????		Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:42 Uhr

2010-07-14T08:42:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 08:42 Uhr
Zeile 166:		Zeile 166:
	Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????		Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
	--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)



			== Neuer Versuch ==


	Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E		Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E
Zeile 173:		Zeile 178:
	Beweis:		Beweis:

	~~nkomp(A,B,C,D) wenigsten einer der vier gehört nicht zu E, da sie sonst alle komplanar wären. o.B.d.A.~~

	Fälle:		Fälle:

Hasekm am 14. Juli 2010 um 08:41 Uhr

2010-07-14T08:41:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Juli 2010, 08:41 Uhr
Zeile 166:		Zeile 166:
	Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????		Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
	--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

			Voraussetzung: Gegeben sein eine Ebene E
			Behauptung: Es existieren wenigstens 3 verschiedene Punkte, die zu E gehören.


			Beweis:

			nkomp(A,B,C,D) wenigsten einer der vier gehört nicht zu E, da sie sonst alle komplanar wären. o.B.d.A.

			Fälle:

			1. A,B,C liegen in der Ebene E
			2. Genau zwei der drei Punkte liegen in der Ebene E (o.B.d.A. seien das Punkt A und Punkt B)
			3. Genau einer der drei liegen in Ebene E (o.B.d.A. sei das der Punkt A)
			4. Keiner der drei Punkte liegt in der Ebene E.
			Der Fall, dass alle vier Punkte in der Ebene liegen ist nicht möglich, da sie sonst alle komplanar wären, dies wir aber bereits in der vorangegangenen Sätzen der Übung ausgeschlossen.

			Untersuchung von Fall 1:
			Nach dem Satz " Vier nicht komplanare Punkte gibt es keine 3 kollinearen Punkte, smit greift Axiom I/4

			Untersuchung von Fall 2:
			Mit den Punkten A und B enthält die Ebene E ja bereits zwei verschiedene Punkte. Es bleibt noch nachzuweisen, dass sie Ebene E einen weiteren Punkt enthält. Hierzu nehmen wir an die Punkte B,C,D bestimmen zusammen eine eindeutige Ebene Z. Diese Ebene Z hat mit der Ebene E einen Punkt gemeinsam und zwar Punkt B. Nach dem Axiom I/6 müssen diese Ebenen einen weiteren gemeinsamen Punkt haben, dass sei der Punkt E. Es darf nicht der Punkt A sein, da sonst neben den Punkten B,C,D ja auch Punkt A in der Ebene Z enthalten wäre. Das wollen wir nicht, sonst wären ja alle vier komplanar.

			Untersuchung von Fall 3:
			Die drei Punkte B,C,D liegen außerhalb der Ebene E und bestimmen zusammen mit Punkt A eine eindeutig die folgenden Ebenen:
			Ebene Z, die durch die Punkte A,B,D bestimmt ist und Ebene Y, die durch Punkt A,C,D bestimmt ist. Diese beiden Ebenen Z und Y sind nicht identisch. Sonst hätten wir ja schon wieder vier komplanare Punkt, wollen wir ja nicht. Damit haben sie nach dem Axoim I/6 noch einen weiteren Punkt gemeinsam, nämlich Punkt E. Somit haben sie zwei Punkt gemeinsam, A,D und E. Da es ja im Axiom I/6 heißt mindesten einen weitern Punkt, kann ich ja noch von einem weiteren gemeinsamen Punkt F ausgehen. So muss ich zeigen, dass die Punkte E und F nicht idetisch sind.
			Dies mache ich indirekt, indem ich ganz einfach annehme sie seien idetisch =). Somit haben die Ebenen Z und Y die folgenden Punkte gemeinsam: A,D und E=F. Demnach sind die beiden Ebenen nach Axiom I/4 identisch, da es heißt 3 nkoll => genau eine Ebene. Widerspruch zum Axiom I/7. Somit eine Ebene mit drei Punkten, sogar zwei.

			Untersuchung von Fall 4:
			Wenn keiner der vier Punkte A,B,C,D in Ebene E ist. Gibt es nach Axiom I/4 wenigstens einen Punkt E der in der Ebene E enthalten ist. Dieser fall kann, dann analog wie bei Fall 3 weiter gehen, doch mit den Punkten E,B,C,D statt den Punkten A,B,C,D.

			Frage stimmt das oder hab ich mich verrannt und den Satz missverstanden??????

Principella: /* Fünf */

2010-06-21T15:15:01Z

Fünf

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juni 2010, 15:15 Uhr
Zeile 163:		Zeile 163:
	:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.		:Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.
	:--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)		:--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)

			Ich würde auch gerne wissen ob der Beweis von TheGeosi korrekt ist und wenn nicht warum??????????
			--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:15, 21. Jun. 2010 (UTC)

Principella: /* Vier */

2010-06-10T19:24:39Z

Vier

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2010, 19:24 Uhr
Zeile 125:		Zeile 125:

	Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..		Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen..
	--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010 ~~(UTC)~~		--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 19:24, 10. Jun. 2010

	== '''Fünf''' ==		== '''Fünf''' ==