Lösung von Aufgabe 6.9 - Versionsgeschichte

Principella: /* Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) */

2010-07-12T15:58:44Z

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

← Nächstältere Version		Version vom 12. Juli 2010, 15:58 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	In diesem Fall muss es nicht explizit geschrieben werden, weil die Definition von kollinear schon besagt, dass die Punkte paarweiße verschieden sein müssen.		In diesem Fall muss es nicht explizit geschrieben werden, weil die Definition von kollinear schon besagt, dass die Punkte paarweiße verschieden sein müssen.
	--[[Benutzer:DrSchwuchtel\|DrSchwuchtel]] 16:38, 11. Jul. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:DrSchwuchtel\|DrSchwuchtel]] 16:38, 11. Jul. 2010 (UTC)

			Nein, nein, nein! :) Meine Definition kollinear besagt was ganz anderes!!! "Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält".
			Wenn zwei oder alle drei Punkte identisch wären, so gäbe es auf jeden Fall eine Gerade, die alle drei enthält!!!
			Das der Beweis so nicht geführt werden kann, ist eine andere Geschichte...
			Oje, oje wie soll das mit der Klausur bei dir nur klappen :)
			--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:58, 12. Jul. 2010 (UTC)

	== vorausgegangene Diskussion ==		== vorausgegangene Diskussion ==

DrSchwuchtel: /* Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) */

2010-07-11T14:57:41Z

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2010, 14:57 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist???		Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist???
	--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)

			In diesem Fall muss es nicht explizit geschrieben werden, weil die Definition von kollinear schon besagt, dass die Punkte paarweiße verschieden sein müssen.
			--[[Benutzer:DrSchwuchtel\|DrSchwuchtel]] 16:38, 11. Jul. 2010 (UTC)

	== vorausgegangene Diskussion ==		== vorausgegangene Diskussion ==

Principella: /* Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) */

2010-06-21T15:45:59Z

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juni 2010, 15:45 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	\|}		\|}

			Eine Frage: Wenn im Satz von drei PAARWEISE VERSCHIEDENEN Punkten die Rede ist, warum lassen sie es einfach weg? Ich werde immer unsicherer was diese Spitzfindigkeiten angeht, weil nie die gleichen Regeln zu gelten scheinen und mich das ganz verrückt macht!
			Darf ich davon ausgehen, das wenn von drei Punkte die Rede ist, diese immer verschieden sind oder nicht? Wenn ja wieso darf ich das in diesem Fall und in anderen nicht?
			Wenn ich nicht davon ausgehen kann, muss das "paarweise verschieden" dabei sein, weil die Voraussetzung sonst eine ganz andere ist???
			--[[Benutzer:Principella\|Principella]] 15:45, 21. Jun. 2010 (UTC)

	== vorausgegangene Diskussion ==		== vorausgegangene Diskussion ==

Schnirch am 16. Juni 2010 um 13:50 Uhr

2010-06-16T13:50:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juni 2010, 13:50 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.		::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
	Beweisen Sie diesen Satz.<br />		Beweisen Sie diesen Satz.<br />
			== Lösung --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC) ==
	<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />		<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
	::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ~~...~~, dann ~~...~~ .		::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

	<u>'''Beweis'''</u><br />		<u>'''Beweis'''</u><br />
Zeile 10:		Zeile 11:
	Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />		Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
	<u>'''Voraussetzungen:'''</u>		<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
			koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)


	~~...~~

	<u>'''Behauptung'''</u><br />		<u>'''Behauptung'''</u><br />
	::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math>		::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

	{\| class="wikitable "		{\| class="wikitable "
Zeile 28:		Zeile 28:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| ~~Element~~		\| es gilt eine der drei Gleichungen:
	\| ~~Element~~		<br /><math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			<br /><math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math>
			\| (I), Axiom II/3
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| ~~Element~~		\| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
	\| ~~Element~~		\| (II), Def (Zwischenrelation)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| ~~Element~~		\| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
	~~\| Element~~		<br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math>
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| ~~Element~~		\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
	\| ~~Element~~		<br /><math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			\| (IV), (Axiom II/3)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AB \right\| - \left\| CB \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			\| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AB \right\|- \left\| BC \right\| </math>
			\| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
			\| <math>\left\| AB \right\| + 2 \left\| BC \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			\| (VII), + <math>\left\| BC \right\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
			\| <math>\ 2 \left\| BC \right\| = 0 </math>
			\| (VIII), - <math>\left\| AB \right\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
			\| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
			<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
			\|
	\|}		\|}


			== vorausgegangene Diskussion ==
	====Versuch I====		====Versuch I====
	<u>'''Satz:'''</u>		<u>'''Satz:'''</u>

Maude001: /* Versuch I */

2010-06-05T12:39:31Z

Versuch I

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juni 2010, 12:39 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	\|}		\|}
	--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)		--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)


			==== Versuch II ==== ===

			<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
			::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

			<u>'''Beweis'''</u><br />

			Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
			<u>'''Voraussetzungen:'''</u>

			<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

			<u>'''Behauptung'''</u><br />
			::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>

			{\| class="wikitable "
			\|+ Beweis
			! Nr.
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(I)
			\| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
			\| Voraussetzung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
			\| <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> paarweise verschieden
			\| Voraussetzung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
			\| (1.) <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math><br /> (2.) <math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math><br /> (3.) <math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math>
			\| I., Axiom II/3
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
			\| (1.)<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math><br />(2.) <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}</math><br />(3.) <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>
			\| III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
			\| Behauptung ist wahr
			\|
			\|}
			--[[Benutzer:Maude001\|Maude001]] 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)

Löwenzahn am 4. Juni 2010 um 17:58 Uhr

2010-06-04T17:58:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 17:58 Uhr
Zeile 95:		Zeile 95:
	...und jetzt?		...und jetzt?
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]

			Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

			{\| class="wikitable "
			\|+ Beweis
			! Nr.
			! Beweisschritt
			! Begründung
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
			\| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
			\| Def (Zwischenrelation)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
			\| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
			<br /> Annahme: es gilt <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VI)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			\| (Axiom II/3)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VII)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AB \right\| - \left\| CB \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			\| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(VIII)
			\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AB \right\|- \left\| BC \right\| </math>
			\| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(IX)
			\| <math>\left\| AB \right\| + 2 \left\| BC \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			\| (VIII), + <math>\left\| BC \right\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(X)
			\| <math>\ 2 \left\| BC \right\| = 0 </math>
			\| (IX), - <math>\left\| AB \right\|</math>
			\|-
			! style="background: #FFDDDD;"\|(XI)
			\| Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.
			<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.
			\|
			\|}
			--[[Benutzer:Löwenzahn\|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

Heinzvaneugen am 4. Juni 2010 um 02:34 Uhr

2010-06-04T02:34:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 02:34 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	\|}		\|}

			...und jetzt?
	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]

Heinzvaneugen am 4. Juni 2010 um 02:32 Uhr

2010-06-04T02:32:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 02:32 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>		\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
			<br /><math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
			<br /><math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math>
	\| Axiom II/3.1		\| Axiom II/3.1
			<br />Axiom II/3.2
			<br />Axiom II/3.3
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| ~~<math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>~~		\|
	\| ~~Axiom II/3.2~~		\|
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| ~~<math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math>~~		\|
	\| ~~Axiom II/3.3~~		\|
	\|}		\|}

	--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]		--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]

Heinzvaneugen am 4. Juni 2010 um 01:57 Uhr

2010-06-04T01:57:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 01:57 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:

	<u>'''Behauptung'''</u><br />		<u>'''Behauptung'''</u><br />
	::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math>		::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

	{\| class="wikitable "		{\| class="wikitable "
Zeile 73:		Zeile 73:
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(II)		! style="background: #FFDDDD;"\|(II)
	\| Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)		\| Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left\|AB \right\|+ \left\| BC \right\| \geq \left\| AC \right\|.</math>
	~~\| Element~~		\|Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(III)		! style="background: #FFDDDD;"\|(III)
	\| ~~Element~~		\| <math>\left\| AB \right\| + \left\| BC \right\| = \left\| AC \right\| </math>
	\| ~~Element~~		\| Axiom II/3.1
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)		! style="background: #FFDDDD;"\|(IV)
	\| ~~Element~~		\| <math>\left\| AC \right\| + \left\| CB \right\| = \left\| AB \right\| </math>
	\| ~~Element~~		\| Axiom II/3.2
	\|-		\|-
	! style="background: #FFDDDD;"\|(V)		! style="background: #FFDDDD;"\|(V)
	\| ~~Element~~		\| <math>\left\| BA \right\| + \left\| AC \right\| = \left\| BC \right\| </math>
	\| ~~Element~~		\| Axiom II/3.3
	\|}		\|}

			--[[Benutzer:Heinzvaneugen\|Heinzvaneugen]]

Heinzvaneugen am 4. Juni 2010 um 01:50 Uhr

2010-06-04T01:50:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2010, 01:50 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	===Vorlage===		====Vorlage====
	<u>'''Satz:'''</u>		<u>'''Satz:'''</u>
	::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.		::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Zeile 45:		Zeile 45:


	===Versuch I===		====Versuch I====
	<u>'''Satz:'''</u>		<u>'''Satz:'''</u>
	::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.		::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.