Lösung von Aufgabe 7.3 - Versionsgeschichte

Schnirch am 1. Juli 2010 um 10:25 Uhr

2010-07-01T10:25:58Z

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	Wenn <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\| } = \frac{\left\| AB \right\| }{\left\| BC \right\| }</math>, dann <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.		Wenn <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\| } = \frac{\left\| AB \right\| }{\left\| BC \right\| }</math>, dann <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.

			<span style="color: blue">Die nachfolgende Lösung von Sternchen ist super ausführlich und korrekt, also wirklich eine Musterlösung - Großes LOB!!! --[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 10:25, 1. Jul. 2010 (UTC)

			</span>
	<u>Voraussetzung:</u>		<u>Voraussetzung:</u>
	:1) <math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|BC\|}</math>		:1) <math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|BC\|}</math>

Sternchen am 10. Juni 2010 um 17:05 Uhr

2010-06-10T17:05:46Z

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	Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left\| AB \right\| > \left\| BC \right\|</math> gilt. Beweisen Sie:<br />		Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left\| AB \right\| > \left\| BC \right\|</math> gilt. Beweisen Sie:<br />
	Wenn <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\| } = \frac{\left\| AB \right\| }{\left\| BC \right\| }</math>, dann <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.		Wenn <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\| } = \frac{\left\| AB \right\| }{\left\| BC \right\| }</math>, dann <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.


			<u>Voraussetzung:</u>
			:1) <math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|BC\|}</math>
			:2) <math>\ \|AB\| + \|BC\| = \|AC\|</math>
			<u>Behauptung:</u>
			:<math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
			<u>Beweis:</u>
			:(2) <math>\ \|AB\| + \|BC\| = \|AC\|</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|BC\| = \|AC\| - \|AB\|</math>
			:eingesetzt in (1) folgt daraus
			:<math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|AC\| - \|AB\|} \ \ \ \ \ \| \ \cdot \|AB\| \cdot(\|AC\| - \|AB\|)</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| \cdot (\|AC\| - \|AB\|) = \|AB\|^2 \ \ \ \ \ \| \ -\|AB\|^2</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\|^2 - \|AB\| \cdot \|AC\| - \|AB\|^2 = 0</math>
			:Mit der p,q-Formel folgt daraus
			:<math>\|AC\|_{1/2} = \frac{\|AB\|}{2} \pm \sqrt{\frac{\|AB\|^2}{4} + \|AB\|^2}</math>
			:Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg.
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \frac{\|AB\|}{2} + \sqrt{ \frac{5 \cdot \|AB\|^2}{4} }</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \frac{\|AB\|}{2} + \frac{\|AB\|}{2} \cdot \sqrt{5}</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \frac{\|AB\|}{2} \cdot ( 1 + \sqrt{5})</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \|AB\| \cdot \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \ \ \ \ \ \| \ : \|AB\|</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2}</math>
			:q.e.d --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC)

m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: Der Punkt $\ B$ möge die Strecke $\overline{AC}$ derart in die Teilstrecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ teilen, das...

2010-06-03T12:09:02Z

Die Seite wurde neu angelegt: Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, das...

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Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left| AB \right| > \left| BC \right|</math> gilt. Beweisen Sie:<br />
Wenn <math>\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right| } = \frac{\left| AB \right| }{\left| BC \right| }</math>, dann <math>\frac{ \left| AC \right| }{\left| AB \right|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.

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	Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left\| AB \right\| > \left\| BC \right\|</math> gilt. Beweisen Sie:<br />		Der Punkt <math>\ B</math> möge die Strecke <math>\overline{AC}</math> derart in die Teilstrecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> teilen, dass <math>\left\| AB \right\| > \left\| BC \right\|</math> gilt. Beweisen Sie:<br />
	Wenn <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\| } = \frac{\left\| AB \right\| }{\left\| BC \right\| }</math>, dann <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.		Wenn <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\| } = \frac{\left\| AB \right\| }{\left\| BC \right\| }</math>, dann <math>\frac{ \left\| AC \right\| }{\left\| AB \right\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.


			<u>Voraussetzung:</u>
			:1) <math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|BC\|}</math>
			:2) <math>\ \|AB\| + \|BC\| = \|AC\|</math>
			<u>Behauptung:</u>
			:<math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
			<u>Beweis:</u>
			:(2) <math>\ \|AB\| + \|BC\| = \|AC\|</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|BC\| = \|AC\| - \|AB\|</math>
			:eingesetzt in (1) folgt daraus
			:<math>\frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{\|AB\|}{\|AC\| - \|AB\|} \ \ \ \ \ \| \ \cdot \|AB\| \cdot(\|AC\| - \|AB\|)</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| \cdot (\|AC\| - \|AB\|) = \|AB\|^2 \ \ \ \ \ \| \ -\|AB\|^2</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\|^2 - \|AB\| \cdot \|AC\| - \|AB\|^2 = 0</math>
			:Mit der p,q-Formel folgt daraus
			:<math>\|AC\|_{1/2} = \frac{\|AB\|}{2} \pm \sqrt{\frac{\|AB\|^2}{4} + \|AB\|^2}</math>
			:Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg.
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \frac{\|AB\|}{2} + \sqrt{ \frac{5 \cdot \|AB\|^2}{4} }</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \frac{\|AB\|}{2} + \frac{\|AB\|}{2} \cdot \sqrt{5}</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \frac{\|AB\|}{2} \cdot ( 1 + \sqrt{5})</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \|AC\| = \|AB\| \cdot \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \ \ \ \ \ \| \ : \|AB\|</math>
			:<math>\Rightarrow \ \ \frac{\|AC\|}{\|AB\|} = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2}</math>
			:q.e.d --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 7.3 - Versionsgeschichte

Schnirch am 1. Juli 2010 um 10:25 Uhr

Sternchen am 10. Juni 2010 um 17:05 Uhr

*m.g.*: Die Seite wurde neu angelegt: Der Punkt \ B möge die Strecke \overline{AC} derart in die Teilstrecken \overline{AB} und \overline{BC} teilen, das...

m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: Der Punkt $\ B$ möge die Strecke $\overline{AC}$ derart in die Teilstrecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ teilen, das...