Lösungen WiSe 2011/12 - Serie 05 - Versionsgeschichte

HecklF: /* Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2 */

2011-12-04T22:02:54Z

Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 22:02 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:

	z. z.: <br />		z. z.: <br />
	'''(1) ~~Wir benötigen die~~ NAF~~, d. h. eine einzige Spiegelung reicht nicht aus~~.'''<br />		'''(1) <math>\varphi</math> ist NAF zweier Geradenspiegelungen.'''<br />
	'''(2) Für alle Punkte P gibt es eine Verschiebung, die <math>\varphi (P)</math> auf P abbildet.'''		'''(2) Für alle Punkte P gibt es eine Verschiebung, die <math>\varphi (P)</math> auf P abbildet.'''

HecklF: /* Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2 */

2011-12-04T22:01:41Z

Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2

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Zeile 106:		Zeile 106:
	Behauptung: <math>\varphi</math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen a und b mit a \|\| b <br /><br />		Behauptung: <math>\varphi</math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen a und b mit a \|\| b <br /><br />

	z. z.:		z. z.: <br />
	(1) Wir benötigen die NAF, d. h. eine einzige Spiegelung reicht nicht aus.<br />		'''(1) Wir benötigen die NAF, d. h. eine einzige Spiegelung reicht nicht aus.'''<br />
	(2) Für alle Punkte P gibt es eine Verschiebung, die <math>\varphi (P)</math> auf P abbildet.		'''(2) Für alle Punkte P gibt es eine Verschiebung, die <math>\varphi (P)</math> auf P abbildet.'''

	Wir können zwei Sätze voraussetzen:		Wir können zwei Sätze voraussetzen:

HecklF: /* Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2 */

2011-12-04T22:00:49Z

Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2

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Zeile 106:		Zeile 106:
	Behauptung: <math>\varphi</math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen a und b mit a \|\| b <br /><br />		Behauptung: <math>\varphi</math> ist die NAF zweier Geradenspiegelungen a und b mit a \|\| b <br /><br />

	z. z.: Für alle Punkte P gibt es eine Verschiebung, die <math>\varphi (P)</math> auf P abbildet.		z. z.:
			(1) Wir benötigen die NAF, d. h. eine einzige Spiegelung reicht nicht aus.<br />
			(2) Für alle Punkte P gibt es eine Verschiebung, die <math>\varphi (P)</math> auf P abbildet.

	Wir können zwei Sätze voraussetzen:		Wir können zwei Sätze voraussetzen:
Zeile 115:		Zeile 117:
	Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte,a und b zwei Spiegelgeraden.		Seien A, B, C drei nichtkollineare Punkte,a und b zwei Spiegelgeraden.

	Nehmen wir an, dass a und b nicht parallel ~~sind~~.		'''Beweisteil (1): Identität ist NAF zweier Geradenspiegelungen'''<br /><br />
			Nehmen wir an, durch eine Geradenspiegelung wird die Identität hergestellt.<br />
			Nach Definition der Spiegelung wird bei der Spiegelung ein Punkt nur dann auf sich selbst abgebildet, wenn er auf der Spiegelgeraden liegt. Demnach müssen alle Punkte auf der Spiegelgeraden liegen. Dies ist aber ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, dass A, B und C nicht kollinear sind. Annahme ist zu verwerfen.<br />
			Eine weitere Ausführung benötigen wir hier nicht mehr (z. B. zu zeigen, dass auch drei oder mehr Geradenspiegelungen nicht die Identität hervorbringen), da dies im zweiten Beweisteil mitbewiesen wird, d. h. wir zeigen dort, dass wir nach zwei Geradenspiegelungen die Identität herstellen. Es ist ja nicht zu beweisen, dass die NAF von '''mindestens''' zwei parallelen Geraden eine Verschiebung ist.<br />

			'''Beweisteil (2): a und b sind parallel'''<br />
			Annahme: a ist nicht parallel zu b.

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"

HecklF: /* Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2 */

2011-12-04T21:50:50Z

Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 21:50 Uhr
Zeile 118:		Zeile 118:

	{\| class="wikitable sortable"		{\| class="wikitable sortable"
	!~~Überschrift 1~~!!~~Überschrift 2~~		!Nummer!!Beweisschritt!!Begründung
	\|-		\|-
	\| 1 \|\| <math>A \equiv \varphi (A), \ B \equiv \varphi (B), \ C\equiv \varphi (C)</math> \|\| Voraussetzung, Identität		\| 1 \|\| <math>A \equiv \varphi (A), \ B \equiv \varphi (B), \ C\equiv \varphi (C)</math> \|\| Voraussetzung, Identität
Zeile 128:		Zeile 128:
	\| 4 \|\| Durch Spiegelung an b werden die Punkte A', B' und C' auf A, B und C abgebildet \|\| Voraussetzung der Identität und (1)		\| 4 \|\| Durch Spiegelung an b werden die Punkte A', B' und C' auf A, B und C abgebildet \|\| Voraussetzung der Identität und (1)
	\|-		\|-
	\| 5 \|\| Weil S_b(A'), S_b(B') und S_b(C') gleich A, B und C ist, gilt, dass b Mittelsenkrechten von <math>\overline{AA'}, \overline{BB'} \und \overline{CC'} </math> ist.\|\| (4)		\| 5 \|\| Weil <math>S_b(A'), \ S_b(B') \ und \ S_b(C')</math> gleich A, B und C ist, gilt, dass b Mittelsenkrechten von <math>\overline{AA'}, \overline{BB'} \ und \ \overline{CC'} </math> ist.\|\| (4)
	\|-		\|-
	\| 6 \|\| <math>a \equiv b</math> \|\| (5), (2) und Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten		\| 6 \|\| <math>a \equiv b</math> \|\| (5), (2) und Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten

HecklF: /* Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2 */

2011-12-04T21:45:55Z

Aufgabe 5.3 - Teil I: Versuch 2

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2011, 21:45 Uhr
Zeile 123:		Zeile 123:
	\|-		\|-
	\| 2 \|\| Nach Spiegelung an a entstehen die Punkte A', B' und C' für die gilt, dass a die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}, \overline{BB'}, \overline{CC'} </math> oder dass zwei Punkte auf a liegen \|\| Definition Spiegelung		\| 2 \|\| Nach Spiegelung an a entstehen die Punkte A', B' und C' für die gilt, dass a die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}, \overline{BB'}, \overline{CC'} </math> oder dass zwei Punkte auf a liegen \|\| Definition Spiegelung
			\|-
			\| 3 \|\| a und b sind nicht parallel \|\| Nach Annahme
			\|-
			\| 4 \|\| Durch Spiegelung an b werden die Punkte A', B' und C' auf A, B und C abgebildet \|\| Voraussetzung der Identität und (1)
			\|-
			\| 5 \|\| Weil S_b(A'), S_b(B') und S_b(C') gleich A, B und C ist, gilt, dass b Mittelsenkrechten von <math>\overline{AA'}, \overline{BB'} \und \overline{CC'} </math> ist.\|\| (4)
			\|-
			\| 6 \|\| <math>a \equiv b</math> \|\| (5), (2) und Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten
			\|-
			\| 7 \|\| Wiederspruch zur Annahme. Annahme ist somit zu verwerfen! \|\| (3) und 6
	\|}		\|}

			q. e. d. Die Identität ist eine Verschiebung.--[[Benutzer:HecklF\|Flo60]] 22:45, 4. Dez. 2011 (CET)

	[[Kategorie:Elementargeometrie]]		[[Kategorie:Elementargeometrie]]

HecklF: /* Aufgabe 5.3 */

2011-12-04T21:38:33Z

Aufgabe 5.3

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
-Es gelte: <math>S_a(S_b(P))= P'</math>
+Es gelte: <math>S_a(S_b(P))= P</math>
 Wir werden keine Fallunterscheidung durchführen, da es für unsere Beweisführung (fast) keine Rolle spielt, ob P auf a oder b liegt, da wir uns alle Punkte anschauen und für alle Punkte gleichermaßen den Beweis führen. Ein Punkt alleine würde zum Nachweis der Identität so und so nicht reichen.
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 ::Ich versuch mal, ne schlaue Frage zu stellen:
 ::Warum sprichst du nur von <math>P'</math> wobei gilt <math>P' = S_a(S_b(P))</math>? Was ist mit dem Punkt, der nach der ersten Spiegelung entsteht, also hier <math>S_b(P)</math>? Inwiefern kannst du die Definition der Spiegelung hier auf die ''Nacheinanderausführung'' von zwei Spiegelungen anwenden?
-::--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)
+::--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)<br /><br />
 <br /><br />
 <quiz>
@@ Zeile 90: / Zeile 94: @@
 <br /><br />
 Die restlichen Fälle werden analog ausgeführt und durch rechnerische Begründungen beschränkt. Durch diese Fallunterscheidung ist es relativ einfach diese Tatsache nahezulegen, jedoch schreiberisch arg aufwendig und irreführend. Vielleicht gibt es eine allgemeinere Lösung. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:48, 30. Nov. 2011 (CET)
 [[Kategorie:Elementargeometrie]]

Sternchen: /* Aufgabe 5.3 */

2011-12-01T20:27:34Z

Aufgabe 5.3

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2011, 20:27 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	::darstellt, rettet dich nicht davor, dass ich ihn gern verstehen würde. ;-)		::darstellt, rettet dich nicht davor, dass ich ihn gern verstehen würde. ;-)
	::Ich versuch mal, ne schlaue Frage zu stellen:		::Ich versuch mal, ne schlaue Frage zu stellen:
	::Warum sprichst du nur von <math>P'</math> wobei gilt <math>P' = S_a(S_b(P))</math>. Was ist mit dem Punkt, der nach der ersten Spiegelung entsteht, also hier <math>S_b(P)</math>? Inwiefern kannst du die Definition der Spiegelung hier auf die ''Nacheinanderausführung'' von zwei Spiegelungen anwenden?		::Warum sprichst du nur von <math>P'</math> wobei gilt <math>P' = S_a(S_b(P))</math>? Was ist mit dem Punkt, der nach der ersten Spiegelung entsteht, also hier <math>S_b(P)</math>? Inwiefern kannst du die Definition der Spiegelung hier auf die ''Nacheinanderausführung'' von zwei Spiegelungen anwenden?
	::--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)		::--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)
	<br /><br />		<br /><br />

Sternchen: /* Aufgabe 5.3 */

2011-12-01T20:26:30Z

Aufgabe 5.3

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2011, 20:26 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	<br />		<br />
	<br />		<br />
	Vielen Dank für die Aufmerksamkeit :-).		Vielen Dank für die Aufmerksamkeit :-).<br />

			::Ich grins mal zurück =) und geb zu: Ich hab's überhaupt nicht verstanden, außer vielleicht <math>\overline{PP'} \equiv \overline{PP'}</math>. Dass der Beweis (deine Worte)
			<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
			einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert
			</blockquote>
			::darstellt, rettet dich nicht davor, dass ich ihn gern verstehen würde. ;-)
			::Ich versuch mal, ne schlaue Frage zu stellen:
			::Warum sprichst du nur von <math>P'</math> wobei gilt <math>P' = S_a(S_b(P))</math>. Was ist mit dem Punkt, der nach der ersten Spiegelung entsteht, also hier <math>S_b(P)</math>? Inwiefern kannst du die Definition der Spiegelung hier auf die ''Nacheinanderausführung'' von zwei Spiegelungen anwenden?
			::--[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)
			<br /><br />
	<quiz>		<quiz>
	{Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen}		{Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen}

Sternchen: /* Aufgabe 5.3 */

2011-12-01T20:10:29Z

Aufgabe 5.3

← Nächstältere Version		Version vom 1. Dezember 2011, 20:10 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	<math>\left\| A'A'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend <br />		<math>\left\| A'A'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend <br />
	Demnach gilt: <math>\left\| A''A' \right\| = 2 \left\| S_aS_b \right\| + 2\left\| S_aA' \right\|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left\| S_bS_a \right\|</math> komplett gespiegelt. <br />		Demnach gilt: <math>\left\| A''A' \right\| = 2 \left\| S_aS_b \right\| + 2\left\| S_aA' \right\|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left\| S_bS_a \right\|</math> komplett gespiegelt. <br />
	<math>\left\| AA'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| - 2\left\| AS_a \right\| = 2\left\| S_bS_a \right\| </math> Nach vorherigen Schritten.<br />		<math>\left\| AA'' \right\| = \left\| A'A'' \right\| - \left\| AA' \right\|</math><br />
			::<math>= 2\left\| S_bA' \right\| - 2\left\| AS_a \right\|</math>
			::<math>= 2\left\| S_bS_a \right\|</math> Nach vorherigen Schritten. [Änderung: --[[Benutzer:Sternchen\|Sternchen]] 21:10, 1. Dez. 2011 (CET)]<br />
	Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.		Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.
	<br /><br />		<br /><br />

HecklF: /* Aufgabe 5.3 */

2011-11-30T22:04:10Z

Aufgabe 5.3

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2011, 22:04 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	<math>\left\| AA' \right\| = 2\left\| AS_a \right\|</math>.<br />		<math>\left\| AA' \right\| = 2\left\| AS_a \right\|</math>.<br />
	<math>\left\| A'A'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend <br />		<math>\left\| A'A'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend <br />
	Demnach gilt: <math>\left\| A''A' \right\| = 2 \left\| S_aS_b \right\| + 2\left\| S_aA' \right\|</math> <br />		Demnach gilt: <math>\left\| A''A' \right\| = 2 \left\| S_aS_b \right\| + 2\left\| S_aA' \right\|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left\| S_bS_a \right\|</math> komplett gespiegelt. <br />
	<math>\left\| AA'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| - 2\left\| AS_a \right\| = 2\left\| S_bS_a \right\| </math> Nach vorherigen Schritten.<br />		<math>\left\| AA'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| - 2\left\| AS_a \right\| = 2\left\| S_bS_a \right\| </math> Nach vorherigen Schritten.<br />
	Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.		Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2011, 22:04 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	<math>\left\| AA' \right\| = 2\left\| AS_a \right\|</math>.<br />		<math>\left\| AA' \right\| = 2\left\| AS_a \right\|</math>.<br />
	<math>\left\| A'A'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend <br />		<math>\left\| A'A'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend <br />
	Demnach gilt: <math>\left\| A''A' \right\| = 2 \left\| S_aS_b \right\| + 2\left\| S_aA' \right\|</math> <br />		Demnach gilt: <math>\left\| A''A' \right\| = 2 \left\| S_aS_b \right\| + 2\left\| S_aA' \right\|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left\| S_bS_a \right\|</math> komplett gespiegelt. <br />
	<math>\left\| AA'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| - 2\left\| AS_a \right\| = 2\left\| S_bS_a \right\| </math> Nach vorherigen Schritten.<br />		<math>\left\| AA'' \right\| = 2\left\| S_bA' \right\| - 2\left\| AS_a \right\| = 2\left\| S_bS_a \right\| </math> Nach vorherigen Schritten.<br />
	Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.		Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.