Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13 - Versionsgeschichte

Jessy: / Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: */

2013-01-16T08:21:03Z

Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:21 Uhr
Zeile 95:		Zeile 95:
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<u>'''Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden als lineare Abbildung:'''</u><br />
			Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung.<br /><br />
			Zu zeigen:<br />
			(H) <math> \varphi </math> ist homogen<br />
			(A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br />
			Beweis zur Homogenität:<br />
			Beweis zur Addidtivität:<br /><br />
	--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />		--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />

Jessy: / Spiegelung an der y-Achse: */

2013-01-16T08:20:33Z

Spiegelung an der y-Achse:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:20 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<u>'''Spiegelung an der y-Achse als lineare Abbildung:'''</u><br />
			Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung.<br /><br />
			Zu zeigen:<br />
			(H) <math> \varphi </math> ist homogen<br />
			(A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br />
			Beweis zur Homogenität:<br />
			Beweis zur Addidtivität:<br /><br />
	--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />		--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />

Jessy: / Spiegelung an der x-Achse: */

2013-01-16T08:19:41Z

Spiegelung an der x-Achse:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:19 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<u>'''Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:'''</u><br />
			Behauptung: <math> \varphi </math> ist eine lineare Abbildung.<br /><br />
			Zu zeigen:<br />
			(H) <math> \varphi </math> ist homogen<br />
			(A) <math> \varphi </math> ist additiv<br /><br />
			Beweis zur Homogenität:<br />
			Beweis zur Addidtivität:<br /><br />
	--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />		--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />

Jessy: / Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: */

2013-01-16T08:16:09Z

Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:16 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:16, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />

	==Zentrische Streckung==		==Zentrische Streckung==

Jessy: / Spiegelung an der y-Achse: */

2013-01-16T08:15:56Z

Spiegelung an der y-Achse:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:15 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />

	==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====		==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====

Jessy: / Spiegelung an der x-Achse: */

2013-01-16T08:15:41Z

Spiegelung an der x-Achse:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:15 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			--[[Benutzer:Jessy\|Jessy]] 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)<br /><br />

	==== Spiegelung an der y-Achse: ====		==== Spiegelung an der y-Achse: ====

Jessy: / Spiegelung an der y-Achse: */

2013-01-16T08:15:05Z

Spiegelung an der y-Achse:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:15 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<u>Matrix für die Spiegelung an der x-Achse</u>:<br /><br />		<u>Matrix für die Spiegelung an der y-Achse</u>:<br /><br />
	<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math><br /><br />		<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math><br /><br />
	<u>Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse:</u><br />		<u>Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse:</u><br />
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />

Jessy: / Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: */

2013-01-16T08:14:51Z

Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:14 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:

	==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====		==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====
			<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<u>Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden</u>:<br /><br />
			<math> \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} </math><br /><br />
			<u>Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden:</u><br />
			<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \\ 1 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />

	==Zentrische Streckung==		==Zentrische Streckung==

Jessy: / Spiegelung an der y-Achse: */

2013-01-16T08:12:52Z

Spiegelung an der y-Achse:

← Nächstältere Version		Version vom 16. Januar 2013, 08:12 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:

	==== Spiegelung an der y-Achse: ====		==== Spiegelung an der y-Achse: ====
			<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<u>Matrix für die Spiegelung an der x-Achse</u>:<br /><br />
			<math> \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} </math><br /><br />
			<u>Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse:</u><br />
			<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />

	==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====		==== Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden: ====

Jessy: / Spiegelung an der x-Achse: */

2013-01-16T08:11:34Z

Spiegelung an der x-Achse:

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Zeile 54:		Zeile 54:
	==Geradenspiegelung==		==Geradenspiegelung==
	==== Spiegelung an der x-Achse: ====		==== Spiegelung an der x-Achse: ====
	<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br />		<math> \vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math><br /><br />		<math> \vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math><br /><br />
	<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br />		<u>Matrix für die Spiegelung an der x-Achse</u>:<br /><br />
	<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>		<math> \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} </math><br /><br />
			<u>Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse:</u><br />
			<math> \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />
			<math> \varphi( \vec{OP}) = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br /><br />

	==== Spiegelung an der y-Achse: ====		==== Spiegelung an der y-Achse: ====

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