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2018-04-28T11:53:36Z

Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen

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	\| Gründonnerstag\|\| Gründonnerstag regnet es immer.		\| Gründonnerstag\|\| Gründonnerstag regnet es immer.
	\|-		\|-
	\| ~~Ab jetzt~~ heißt ~~Raider~~ Twix.\|\| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.		\| Raider heißt Twix.\|\| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
	\|-		\|-
	\| Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.\|\| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.		\| Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.\|\| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.

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| valign="top" |

=Mathematische Aussagen=
==Beispiele==
===Primzahlen===
Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:
{| class="wikitable"
|-
! Aussage!! Wahrheitswert
|-
| Die Zahl <math>3</math> ist eine Primzahl.|| wahr
|-
| Die Zahl <math>4</math> ist eine Primzahl.|| falsch
|-
| Es gibt unendlich viele Primzahlen.|| wahr
|-
| Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt.|| wahr.
|}
Keine Aussage zu Primzahlen ist:<br />
: Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.

===Wichtige Sätze der Schulgeometrie===
Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.
*Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
*Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
*Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
*Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:
* .....
* .....
* .....

==Begriff der Aussage==
Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:

*Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).

Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:

*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
*Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Beide Prinzipien zusammengefasst:
*Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.

==Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen==
Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
{| class="wikitable"
|-
! keine Aussage!! Aussage
|-
| Gründonnerstag|| Gründonnerstag regnet es immer.
|-
| Ab jetzt heißt Raider Twix.|| Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
|-
| Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen.|| Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in <math>\mathbb{R}</math> nicht definiert.
|-
| Konstruiere einen Kreis.|| ihr Beispiel
|-
| ihr Beispiel || ihr Beispiel
|}

==Die Negation einer Aussage==
===Beispiele===
{| class="wikitable"
|-
! Aussage !! Negation der Aussage
|-
| <math>2</math> ist Primzahl|| <math>2</math> ist keine Primzahl
|-
| Die Eisernen steigen auf.|| Die Eisernen steigen nicht auf.
|-
| Die Hose ist grün.|| Die Hose ist nicht grün.
|-
| Bier schmeckt gut. || Bier schmeckt nicht gut.
|-
| ihr Beispiel || ihr Beispiel
|}

===Wahrheitswerttabelle===
Wenn <math>p</math> eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit <math>\neg p</math> die Negation von <math>p</math> zu kennzeichnen.
{| class="wikitable"
|-
! <math>p</math> !! <math>\neg p</math>
|-
| wahr || falsch
|-
| falsch|| wahr
|}
Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen <math>\neg</math> ist \neg.
==Verknüpfung zweier Aussagen==
===Das logische und===
==== Die Idee====
Zwei Aussagen <math>a</math> und <math>b</math> lassen sich durch ein logisches und zu einer Aussage zusammenfassen.
==== Beispiel Teilbarkeit von Summen====
Wenn <math>t|a</math> und <math>t|b</math>, dann <math>t|(a+b)</math>.<br />
Voraussetzung <math>1</math>: <math>t|a</math><br />
Voraussetzung <math>2</math>: <math>t|b</math><br />
Zusammenfassung zu einer Voraussetzung: <math>t|a \land t|b</math>.
====Wahrheitswertabelle====
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \land b</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch|| falsch
|-
| falsch || wahr|| falsch
|-
| falsch || falsch || falsch
|}

Die Verknüpfung zweier Aussagen durch ein logisches und ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
==Das logische oder==
===Die Idee===
Zwei Aussagen lassen sich durch ein logisches oder zu einer Aussage zusammenfassen.
===Wahrheitswerttabelle===
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \lor b</math>
|-
| wahr || wahr || wahr
|-
| wahr || falsch|| wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}
Die Verknüpfung zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.<br />
Hinweis: Das logische oder entspricht nicht dem allgemeinen Sprachgebrauch in der Umgangsprache. Umgangssprachlich ist das oder ein entweder oder (exklusives oder).
===Wahrheitswerttabelle entweder oder===
exklusives oder
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! <math>b</math> !! <math>a \dot\lor b</math>
|-
| wahr || wahr || falsch
|-
| wahr || falsch|| wahr
|-
| falsch || wahr || wahr
|-
| falsch || falsch || falsch
|}


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Mathematische Aussagen SoSe 2017 - Versionsgeschichte

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