A.Burgermeister: \Epsilon durch \varepsilon ersetzt

2011-09-06T17:40:51Z

\Epsilon durch \varepsilon ersetzt

← Nächstältere Version		Version vom 6. September 2011, 17:40 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:

	===== Beweis von Satz VI.1 =====		===== Beweis von Satz VI.1 =====
	Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \~~Epsilon~~</math> gehören möge.		Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \varepsilon</math> gehören möge.

	====== Behauptungen: ======		====== Behauptungen: ======

	# Es gibt in <math>\ \~~Epsilon~~</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.		# Es gibt in <math>\ \varepsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
	# Es gibt in <math>\ \~~Epsilon~~</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.		# Es gibt in <math>\ \varepsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

	====== Beweis der Existenzbehauptung: ======		====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

	Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \~~Epsilon~~</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.		Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \varepsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

	{\| class="wikitable center"		{\| class="wikitable center"

Schnirch: /* Beweis der Existenzbehauptung: */

2011-06-27T13:04:00Z

Beweis der Existenzbehauptung:

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juni 2011, 13:04 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	\| (ii)		\| (ii)
	\| <math>\exist P \in AB,Q^+ : \|\angle PMB \| = 90</math>		\| <math>\exist P \in AB,Q^+ : \|\angle PMB \| = 90</math>
	\| Vor., (I), Winkelkonstruktionsaxiom		\| Vor., (i), Winkelkonstruktionsaxiom
	\|-		\|-
	\| (iii)		\| (iii)
	\| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>		\| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
	\| ~~ergänzen Sie~~...		\| (i), (ii), Def. Mittelsenkrechte (erarbeitet in Vorlesung--[[Benutzer:Schnirch\|Schnirch]] 15:04, 27. Jun. 2011 (CEST))
	\|}		\|}

Schnirch: /* Beweis der Existenzbehauptung: */

2011-06-27T13:02:17Z

Beweis der Existenzbehauptung:

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juni 2011, 13:02 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	\| (ii)		\| (ii)
	\| <math>\exist P \in AB,Q^+ : \|\angle PMB \| = 90</math>		\| <math>\exist P \in AB,Q^+ : \|\angle PMB \| = 90</math>
	\| ~~ergänzen Sie..~~.		\| Vor., (I), Winkelkonstruktionsaxiom
	\|-		\|-
	\| (iii)		\| (iii)

Schnirch: /* Beweis der Existenzbehauptung: */

2011-06-27T13:00:31Z

Beweis der Existenzbehauptung:

← Nächstältere Version		Version vom 27. Juni 2011, 13:00 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	\| (i)		\| (i)
	\| <math>\exist M \in\overline{AB}: \|AM\| = \|MB\|</math>		\| <math>\exist M \in\overline{AB}: \|AM\| = \|MB\|</math>
	\| ~~ergänzen Sie...~~		\| Existenz des Mittelpunktes ''M''
	\|-		\|-
	\| (ii)		\| (ii)

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende == === Mittelsenkrechte === Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Streck…“

2011-06-08T13:01:15Z

Die Seite wurde neu angelegt: „== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende == === Mittelsenkrechte === Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Streck…“

Neue Seite

== Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende ==
=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:
eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) =====
:: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

===== Beweis von Satz VI.1 =====
Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die vollständig zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> gehören möge.

====== Behauptungen: ======

# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.
# Es gibt in <math>\ \Epsilon</math> nicht mehr als eine Gerade <math>\ m</math>, die die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> ist.

====== Beweis der Existenzbehauptung: ======

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt <math>\ Q</math> ein, der zur Ebene <math>\ \Epsilon</math> aber nicht zur Geraden <math>\ AB</math> gehören möge.

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
| <math>\exist M \in\overline{AB}: |AM| = |MB|</math>
| ergänzen Sie...
|-
| (ii)
| <math>\exist P \in AB,Q^+ : |\angle PMB | = 90</math>
| ergänzen Sie...
|-
| (iii)
| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| ergänzen Sie...
|}

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

====== Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung ======
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1).
Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

=== Winkelhalbierende ===
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

<ggb_applet width="517" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
Übungsaufgabe

===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

===== Beweis von Satz VI.2 =====
Übungsaufgabe

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe 11) - Versionsgeschichte

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