Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (WS10/11) - Versionsgeschichte

TimoRR: /* Beweis der Existenzbehauptung: */

2011-01-06T11:27:26Z

Beweis der Existenzbehauptung:

← Nächstältere Version		Version vom 6. Januar 2011, 11:27 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	\| (i)		\| (i)
	\| <math>\exist M \in\overline{AB}: \|AM\| = \|MB\|</math>		\| <math>\exist M \in\overline{AB}: \|AM\| = \|MB\|</math>
	\| ~~Definition III.1 (Mittelpunkt)~~		\| Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes
	\|-		\|-
	\| (ii)		\| (ii)
	\| <math>\exist P \in AB,Q^+ : \|\angle PMB \| = 90</math>		\| <math>\exist P \in AB,Q^+ : \|\angle PMB \| = 90</math>
	\| ~~Definition V.6 (rechter Winkel)~~		\| Winkelkonstruktionsaxiom
	\|-		\|-
	\| (iii)		\| (iii)
	\| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>		\| <math>\ PM</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
	\| ~~(ii),~~ (i), ~~Definition V.8~~ (~~Relation senkrecht),<br />Definition VI.1 (Mittelsenkrechte~~)		\| (i), (ii)
	\|}		\|}
			--[[Benutzer:TimoRR\|TimoRR]] 11:27, 6. Jan. 2011 (UTC)
			<br />
	Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.		Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

Schnirch: /* Beweis von Satz VI. 1 \frac{1}{2} */

2010-12-19T13:51:30Z

Beweis von Satz VI. 1 \frac{1}{2}

← Nächstältere Version		Version vom 19. Dezember 2010, 13:51 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:

	:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:10, 15. Dez. 2010 (UTC)		:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:10, 15. Dez. 2010 (UTC)

			===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
			:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>\| \angle ASW \| = \| \angle WSB \| = \frac{1}{2} \| \angle ASB \|</math>.

	===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
	Übungsaufgabe		Übungsaufgabe

	===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====		===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====

Halikarnaz: /* Definition VI.2 (Winkelhalbierende) */

2010-12-15T21:10:41Z

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2010, 21:10 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)		Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

	Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)		:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:10, 15. Dez. 2010 (UTC)



	===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====

Halikarnaz: /* Satz VI. 1 \frac{1}{2} */

2010-12-15T21:10:12Z

Satz VI. 1 \frac{1}{2}

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2010, 21:10 Uhr
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	Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)		Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)

	~~===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====~~
	:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>\| \angle ASW \| = \| \angle WSB \| = \frac{1}{2} \| \angle ASB \|</math>.--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:08, 15. Dez. 2010 (UTC)

	===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====

Halikarnaz: /* Satz VI. 1 \frac{1}{2} */

2010-12-15T21:08:26Z

Satz VI. 1 \frac{1}{2}

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2010, 21:08 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:

	===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====
	:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>\| \angle ASW \| = \| \angle WSB \| = \frac{1}{2} \| \angle ASB \|</math>.		:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>\| \angle ASW \| = \| \angle WSB \| = \frac{1}{2} \| \angle ASB \|</math>.--[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:08, 15. Dez. 2010 (UTC)

	===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Beweis von Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====

Halikarnaz am 15. Dezember 2010 um 21:06 Uhr

2010-12-15T21:06:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2010, 21:06 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:
	===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====		===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
	Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)		Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

			Es seien \ p,\ w und \ q drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt \ S. Die Halbgerade \ w ist die Winkelhalbierende des Winkels \angle pq, wenn \ w im Inneren von \angle pq liegt und die beiden Winkel \angle pw und \angle wq dieselbe Größe haben. --[[Benutzer:Halikarnaz\|Halikarnaz]] 21:06, 15. Dez. 2010 (UTC)

	===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====

Engel82: /* Definition VI.2 (Winkelhalbierende) */

2010-12-15T10:02:59Z

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2010, 10:02 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:

	===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====		===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
	~~siehe Auftrag~~ der ~~Woche~~ 10.		Es sei ASB ein Winkel und SP+ ein Strahl, der vollständig im Inneren vom Winkel ASB liegt. Der Strahl SP+ heißt Winkelhalbierende des Winkels ASB, falls die Winkel ASP und PSB dieselbe Größe haben.--[[Benutzer:Engel82\|Engel82]] 10:02, 15. Dez. 2010 (UTC)

	===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====

Schnirch: /* Beweis von Satz VI.2 */

2010-12-14T13:50:38Z

Beweis von Satz VI.2

← Nächstältere Version		Version vom 14. Dezember 2010, 13:50 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:

	===== Beweis von Satz VI.2 =====		===== Beweis von Satz VI.2 =====
	~~Übungsaufgabe~~		Tutorium_10
	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Schnirch: /* Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden) */

2010-12-14T12:31:54Z

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

← Nächstältere Version		Version vom 14. Dezember 2010, 12:31 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:

	===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====		===== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)=====
	siehe Auftrag der Woche 9.		siehe Auftrag der Woche 10.

	===== Beweis von Satz VI.2 =====		===== Beweis von Satz VI.2 =====
	Übungsaufgabe		Übungsaufgabe
	[[Category:Einführung_Geometrie]]		[[Category:Einführung_Geometrie]]

Schnirch: /* Definition VI.2 (Winkelhalbierende) */

2010-12-14T12:31:44Z

Definition VI.2 (Winkelhalbierende)

← Nächstältere Version		Version vom 14. Dezember 2010, 12:31 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:

	===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====		===== Definition VI.2 (Winkelhalbierende)=====
	siehe Auftrag der Woche 9.		siehe Auftrag der Woche 10.

	===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====		===== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math> =====