Pfeilklassen - Versionsgeschichte

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2013-05-23T13:16:14Z

Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren

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	iv) <math>(\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}</math> (2.Distributivgesetz)		iv) <math>(\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}</math> (2.Distributivgesetz)

			[[Kategorie:Linalg]]

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2013-05-23T13:13:14Z

Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen

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	iv) Zu jedem <math>\vec{u}</math> existiert ein <math> -\vec{u}</math> mit <math> \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o}</math> (inverses Element)		iv) Zu jedem <math>\vec{u}</math> existiert ein <math> -\vec{u}</math> mit <math> \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o}</math> (inverses Element)


			==Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren==

			Für beliebige Pfeilklassen <math>\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R}</math> gilt:

			i) <math>1\cdot\vec{u} =\vec{u}</math> (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)

			ii) <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot \vec{u}= \lambda\cdot(\mu\cdot \vec{u})</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

			iii)<math>\lambda \cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda \cdot \vec{u} +\lambda \cdot \vec{v} </math> (1.Distributivgesetz)

			iv) <math>(\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}</math> (2.Distributivgesetz)

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2013-05-23T13:07:28Z

Satz

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	===Satz===		====Satz====
	Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.<br /><br />		Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.<br /><br />
	D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: <br />		D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: <br />

Cplicht: /* Pfeilklassen */

2013-05-23T13:06:49Z

Pfeilklassen

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	{{Definition\|~~P.1 (parallelgleich)<br />~~Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> heißen parallelgleich, wenn <br />		{{Definition\|Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> heißen '''parallelgleich''', wenn gilt: <br />

	# <math>\|AB\|=\|CD\|</math>		# <math>\|AB\|=\|CD\|</math>

Cplicht: /* Satz */

2013-05-23T13:05:38Z

Satz

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	{{Definition\| ~~Pfeilklasse: <br />~~		{{Definition\|Eine '''Pfeilklasse''' ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation ''parallelgleich'', <br />d.h, mit der Pfeilklasse <math>\vec{u}</math> bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil <math>\vec{u}</math> parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:<br /> <math>\vec{u}=\left\{\vec{x}\| \vec{x} \sim \vec{u}\right\}</math>}}
	Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation ''parallelgleich'', d.h, mit der Pfeilklasse <math>\vec{u}</math> bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil <math>\vec{u}</math> parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:<br />
	<math>\vec{u}=\left\{\vec{x}\| \vec{x} \sim \vec{u}\right\}</math>

	==Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen==		==Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen==

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Es seien $A$ und $B$ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der…“

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==Pfeilklassen==

{{Definition|Pfeil <math>\vec{AB}</math> Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil <math>\vec{AB}</math> ist das geordnete Paar <math>(A,B)</math>. <math>A</math> heißt Anfangspunkt des Pfeils <math>\vec{AB}</math>, <math>B</math> heißt Endpunkt des Pfeils <math>\vec{AB}</math>. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil <math>\vec{o}</math>. Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.}}

{{Definition|P.1 (parallelgleich) Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> heißen parallelgleich, wenn 

# <math>|AB|=|CD|</math>
# <math>AB \|| CD</math>
# <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> sind gleichorientiert.}}

===Satz===
Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene. 
D.h. <math> \vec{a}</math> ist parallelgleich(<math>\sim</math>) zu <math>\vec{b}</math>, wenb gilt: 
a) Reflexivität: <math>\vec{a} \sim \vec{a}</math> 
b) Symmetrie: <math>\vec{a} \sim \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \sim \vec{a}</math> 
c) Transitivität: <math>\vec{a} \sim \vec{b} \wedge \vec{b} \sim \vec{c}\Rightarrow \vec{a} \sim \vec{c}</math> 

{{Definition| Pfeilklasse: 
Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation ''parallelgleich'', d.h, mit der Pfeilklasse <math>\vec{u}</math> bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil <math>\vec{u}</math> parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes: 
<math>\vec{u}=\left\{\vec{x}| \vec{x} \sim \vec{u}\right\}</math>

==Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen==

Für beliebige Pfeilklassen <math>\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}</math> gilt:

i) <math>\vec{u},\vec{v} </math> gilt <math>\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}</math> (Kommuntativität der Addition)

ii) <math>\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in V</math> gilt <math>(\vec{u}+\vec{v})+ \vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+ \vec{w})</math> (Assoziativität der Addition)

iii) Es existiert eine Pfeilklasse <math>\vec{0}</math>, sodass gilt <math> \vec{u}+ \vec{0}= \vec{u}</math> (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)

iv) Zu jedem <math>\vec{u}</math> existiert ein <math> -\vec{u}</math> mit <math> \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o}</math> (inverses Element)

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Es seien $A$ und $B$ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der…“