m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: Es sei $\ R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $\ M$ . Wir zerlegen $\ M$ derart in Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ......$

2010-05-24T07:26:49Z

Die Seite wurde neu angelegt: Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ......

Neue Seite

Es sei <math>\ R</math> ein Äquivalenzrelation auf der Menge <math> \ M</math>. Wir zerlegen <math>\ M</math> derart in Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math>, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von <math> \ M</math>, die in der Relation <math>\ R</math> zueinander stehen. 
'''Satz:''' Die Zerlegung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>\ M</math>.

[[Beispiel zu dieser Idee, Klassen einzuteilen]]

<quiz>
<big>'''Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.'''</big> 
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus <math>\ M</math> zu indizieren. Unter der Klasse <math>\ T_a</math> verstehen wir dann alle Elemente von <math>\ M</math>, die mit dem Element <math>\ a</math> aus M in der Relation <math>\ R</math> stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?}
+ <math> \bigwedge_{a \in M}: T_a:= \lbrace b| b \in M \land bRa \rbrace </math>
|| so liest sich das: Für alle <math>a</math> aus <math>M</math> legen wir die Teilmenge <math>T_a</math> derart fest, dass zu ihr alle Elemente <math>b</math> aus <math>M</math> gehören, die mit <math>a</math> in der Relation <math>R</math> stehen.
+ <math> \bigwedge_{b \in M}: T_b:= \lbrace x| x \in M \land xRb \rbrace </math>
|| Genau dasselbe wie zuvor, nur heißt <math>a</math> jetzt <math>b</math> und <math>b</math> dafür <math>x</math>.

{ <big>'''Überlegungen zur Voraussetzung'''</big>
| type="{}" }
Voraussetzung: <math>R</math> ist eine { Äquivalenzrelation }
Das bedeutet:
(R) <math>R</math> ist { reflexiv }
(S) <math>R</math> ist { symmetrisch }
(T) <math>R</math> ist { transitiv }

{ <big>'''Überlegungen zur Behauptung'''</big>
| type="{}" }
Behauptung: Die Einteilung von <math>\ M</math> in die Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist eine { Klasseneinteilung } von <math>\ M</math>.
Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:
(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen <math>\ T_i</math> und <math>\ T_j</math> ist die { leere Menge }
(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist die Menge { M }
(0) Weder <math>\ T_1</math> noch <math>\ T_2 </math> noch irgendeine andere der Mengen <math>\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...</math> ist { leer }.
</quiz>

Quiz der Woche 5 - Versionsgeschichte

*m.g.*: Die Seite wurde neu angelegt: Es sei \ R ein Äquivalenzrelation auf der Menge \ M. Wir zerlegen \ M derart in Teilmengen \ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ......

m.g.: Die Seite wurde neu angelegt: Es sei $\ R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $\ M$ . Wir zerlegen $\ M$ derart in Teilmengen $\ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ......$