Rakorium: Die Seite wurde neu angelegt: == Sätze == =====Satz I.1:===== :Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. =====Sa...

2010-07-08T07:36:32Z

Die Seite wurde neu angelegt: == Sätze == =====Satz I.1:===== :Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. =====Sa...

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== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. <br />Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten,<br />
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

Sätze - Versionsgeschichte

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