Sätze und Beweise - Versionsgeschichte

Engel82 am 17. November 2010 um 23:27 Uhr

2010-11-17T23:27:27Z

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	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.
			[[Category:Einführung_Geometrie]]

Tutorin Anne: /* Beweise */

2010-11-06T21:21:33Z

Beweise

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2010, 21:21 Uhr
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	'''Aufgabe:'''		'''Aufgabe:'''
	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.

Tutorin Anne: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

2010-11-06T21:20:17Z

Aufbau eines mathematischen Satzes

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2010, 21:20 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />		formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden ~~aund~~ b kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />
	> welche Wechselwinkel? hier ist eine genauere Beschreibung sinnvoll: Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b. --[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 16:49, 2. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />
	~~> Hier die Zusammenhänge auch genauer beschreiben.<br />~~

	==notwendige und hinreichende Bedingung==		==notwendige und hinreichende Bedingung==

Engel82: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

2010-11-04T12:56:35Z

Aufbau eines mathematischen Satzes

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2010, 12:56 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und B sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />
	> Hier die Zusammenhänge auch genauer beschreiben.<br />		> Hier die Zusammenhänge auch genauer beschreiben.<br />

Engel82: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

2010-11-04T12:55:41Z

Aufbau eines mathematischen Satzes

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2010, 12:55 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />		formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden aund b kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />
	> welche Wechselwinkel? hier ist eine genauere Beschreibung sinnvoll: Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b. --[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 16:49, 2. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />		> welche Wechselwinkel? hier ist eine genauere Beschreibung sinnvoll: Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b. --[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 16:49, 2. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und B sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />
	> Hier die Zusammenhänge auch genauer beschreiben.<br />		> Hier die Zusammenhänge auch genauer beschreiben.<br />

Tutorin Anne: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

2010-11-02T16:49:56Z

Aufbau eines mathematischen Satzes

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2010, 16:49 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />
			> welche Wechselwinkel? hier ist eine genauere Beschreibung sinnvoll: Wechselwinkel an zwei geschnittenen Geraden a und b. --[[Benutzer:Tutorin Anne\|Tutorin Anne]] 16:49, 2. Nov. 2010 (UTC)<br /><br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />
			> Hier die Zusammenhänge auch genauer beschreiben.<br />

	==notwendige und hinreichende Bedingung==		==notwendige und hinreichende Bedingung==

Schnirch: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

2010-11-02T12:24:49Z

Aufbau eines mathematischen Satzes

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2010, 12:24 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />		formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />
	<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br /><br /><br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />

Schnirch am 2. November 2010 um 11:38 Uhr

2010-11-02T11:38:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2010, 11:38 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />		formal:<math>\ B \Rightarrow A</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:<br /><br /><br />
	Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wenn Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel.<br />
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />
	Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />

	==notwendige und hinreichende Bedingung==		==notwendige und hinreichende Bedingung==
Zeile 34:		Zeile 34:
	#'''Beweis durch Kontraposition:'''<br /> Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:<br /><math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math><br />(warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).<br />Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.<br /><br />		#'''Beweis durch Kontraposition:'''<br /> Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:<br /><math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math><br />(warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).<br />Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.<br /><br />
	'''Aufgabe:'''		'''Aufgabe:'''
	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.<br />
	Wechselwinkel sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.		<span style="color: green">Lösung von Studierenden:</span><br />Wechselwinkel sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.

Engel82: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

2010-10-28T11:28:35Z

Aufbau eines mathematischen Satzes

← Nächstältere Version		Version vom 28. Oktober 2010, 11:28 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />		Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math><br /><br />
	'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />		'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:<br /><br /><br />
	Wechselwinkel sind kongruent zueinander ~~genau dann~~, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />		Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel sind<br />

	==notwendige und hinreichende Bedingung==		==notwendige und hinreichende Bedingung==

Engel82: /* Beweise */

2010-10-28T10:21:40Z

Beweise

← Nächstältere Version		Version vom 28. Oktober 2010, 10:21 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	'''Aufgabe:'''		'''Aufgabe:'''
	Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.		Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.
			Wechselwinkel sind nicht kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b nicht parallel sind.